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Continuité et injectivité
Bonjour à tous j'espère que vous allez bien !
Je suis désolée de vous déranger, je suis bloquée sur une question dans un exercice d'analyse et je ne vois pas du tout comment faire. Est ce que quelqu'un voudrait bien m'éclairer s'il vous plaît ?
Bien sûr, ne répondez pas si vous n'avez pas le temps, d'autant plus que les fêtes de fin d'année approchent et que vous avez sûrement mieux à faire que de m'aider....
Je recopie l'énoncé, après je vous ferai part de mon travail, je bloque sur la question 1b.
"Soit f : I->R, une fonction continue et injective sur un intervalle I. Le but de cet exercice est de montrer que f est strictement monotone sur I.
Soit (a, b) éléments de I^2,tel que a<b.
1- On suppose dans cette question que f(a) <f(b).
Soit (x, y) éléments de I, tel que x<y. Pour tout t élément de [0,1] on pose
g(t) = f ( (1-t) a+tx)- f ( (1-t) b+ty).
a- Montrer que g est bien définie et continue sur [0,1]. Montrer que g ne s'annule pas.
b- Déterminer le signe de g(0) et de g(1).
c- Déduisez-en que f est strictement croissante.
2- Que dire selon vous lorsque f(a) >f(b)?Justifiez. "
Donc pour la 1-a, j'ai dit que la fonction est définie et continue comme somme de telles fonctions.
Et pour justifier qu'elle ne s'annule pas, j'ai écrit que pour que la fonction s'annule il aurait fallu que f ( (1-t) a+tx) soit égal à f ( (1-t) b+ty), or f est injective donc cela impliquerait que (1-t)a +tx=(1-t) b+ty ce qui est impossible puisque a est différent de b et x est différent de y.
Pour la b, j'ai trouvé que g(0) est négatif car
g(0)=f(a)- f(b) et par hypothèse f(a) <f(b), mais c'est après que je suis totalement perdue...
g(1)= f(x)- f(y) mais on n'a pas d'informations sur f(x) et f(y) je sais seulement que x<y et que f est injective. Je ne connais pas le maximum de f(x) et f(y) donc je ne sais pas comment déterminer le signe.
Comme on nous demande ensuite d'en déduire que f est croissante je suppose que g(1)< 0, mais je ne vois pas comment le prouver....
Merci beaucoup à tpus ceux qui ont pris le temps de me lire,
Bonnes vacances et très belles fêtes de fin d'année,
Respectueusement,
salut
1a/ : comme somme et composée de fonctions continues ...
pour la non nullité je t'invite à donner explicitement t en fonction de a, b, x et y ...
g(1) = f(x) - f(y)
f est injective donc deux cas : f(x) - f(y) > 0 ou f(x) - f(y) > 0
traite chaque cas séparément ...
Pour la non nullité, j'ai réussi grâce à vos indications à montrer que t n'appartient pas à l'intervalle [0,1] il est forcément superieur à 1 dans le cas où f ( (1-t)a +tx) =f (1-t)b +ty). Merci beaucoup ! 😊
Par contre pour le signe de g(1) selon si f(x) <f(y) ou f(x) >f(y) le signe n'est pas le même, on ne peut donc pas répondre à la question et conclure sur la croissance si ?
Est ce que vous pensez que j'ai le droit de dire que le couple (a, b) appartient à I, la propriété qui dit que f(a) <f(b) s'applique à tout couple d'éléments de I puisque a et b sont certes fixés mais arbitraires Je pourrais donc appliquer cette propriété à x et y. Je ne sais pas si c'est envisageable....
J'ai rencontré le même exercice mais j'ai procédé autrement, je vais te donner les étapes clefs mais à toi de continuer :
J'ai procédé par l'absurde , donc j'ai supposé que f n'est pas strictement croissante et c'est là où tu feras face à la première difficulté de l'exercice :
Si f n'est pas strictement croissante cela veut dire que Il existe trois points a<b<c tel que soit f(b)>max(f(a),f(c)) ou f(b)<min(f(a),f(b)) .
Essaye avec cette petite indication, si tu ne trouves toujours pas fais moi signe et j'essayerai de t'aider
(P.S: J'ai voulu directement te montrer la façon avec laquelle raisonner sans avoir à suivre les questions de ton énoncé)
Soit f : I->R, une fonction continue et injective sur un intervalle I. Le but de cet exercice est de montrer que f est strictement monotone sur I.
Je parlais bien de celle là
g(1) = f(x) - f(y)
f est injective donc deux cas : f(x) - f(y) > 0 ou f(x) - f(y) < 0
traite chaque cas séparément ...
g(0) est négatif ...
si on suppose que g(1) est positif donc que f(x) - f(y) > 0 alors par le TVI g s'annule car elle est continue ... ce qui est absurde d'après la question précédente
donc nécessairement g(1) est négatif aussi et donc f(x) - f(y) < 0 <=> f(x) < f(y)
donc f est monotone croissante
Ah d'accord c'est bon j'ai compris, merci beaucoup !!
KrnT merci également pour ta méthode pour l'instant je ne trouve pas mais je vais creuser ça m'intéresse !
Merci beaucoup à vous deux d'avoir pris le temps de me répondre !
Passez de belles fêtes de fin d'année 😊
Lena112
Pour la deuxième astuce, il faudra utiliser le TVI , pour l'instant essaye juste avec f(b)>max(des deux) et essaye de trouver une contradiction avec l'injectivité.
Tout le plaisir est pour moi
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