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Niveau maths spé
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Continuité produit matriciel

Posté par
Yosh2
05-12-21 à 12:04

Bonjour
Je n'arrive pas à comprendre comment justifier que le produit matriciel est continu, en cherchant sur internet je tombe sur la propriété « toute application linéaire en dim finie est continue », toute fois je ne possède pas un tel théorème dans mon cours , pouvez vous m'aider à le justifier autrement ?
Merci

Posté par
carpediem
re : Continuité produit matriciel 05-12-21 à 12:20

salut

ben en le montrant comme pour n'importe quelle fonction !!

par exemple soient A et B deux matrices fixées et C une matrice tendant vers B

alors il faut montrer que AC tend vers AB

PS : le produit n'étant pas commutatif cela montrera la continuité à droite ...

il suffit alors de traduire correctement l'expression "la matrice C tend vers la matrice B" ... mais puisque tu des espaces vectoriels normés cela est aisé ...

Posté par
Yosh2
re : Continuité produit matriciel 05-12-21 à 15:10

Bonjour , puisque en dim finie toute les normes sont équivalentes (je prends la norme infinie puisque je connais un lemme
||AC-AB||=||A(C-B)|| <= n||A|| ||C-D|| tend vers zéro , mais j'ai l'impression de faire trop compliqué.

Posté par
DOMOREA
Continuité produit matriciel 05-12-21 à 16:24

bonjour,
En se plaçant dans l'espace des matrices nxn
D'une manière très élémentaire,
on peut aussi dire  que tout élément de la matrice C  =AB  est une forme  linéaire de Rn ou de Cn définie par une ligne de A  appliquée à une colonne de B  
Bien que AB ne soit par forcement égal à BA, il y  a continuité à droite et continuité à gauche
Avc BA=C' tout élément de la matrice C'  =BA  est une forme  linéaire de Rn ou de Cn définie par une ligne de B  appliquée à une colonne de A
(x_1,x_2,...,x_n) ---->a_1x_1+a_2x_2+..+a_nx_n    est continue  
Si les matrices ne sont pas carrées le raisonnement est analogue pour deux matrices multipliables                        

Posté par
GBZM
re : Continuité produit matriciel 05-12-21 à 18:01

Bonsoir,

Plutôt que de parler de formes linéaires, je parlerais plutôt de polynômes.
Une matrice à n lignes et p colonnes est un élément de K^{n\times p}, et la multiplication des matrices n\times p par les matrices p\times q est une application polynomiale K^{n+p}\times K^{p\times q}\to K^{n\times q} (toutes ses coordonnées sont des polynômes).  Sur un corps topologique, toute application polynomiale est continue.
(Par définition, l'addition, le produit, le passage à l'inverse sont continus sur un corps topologique.)

Le déterminant des matrices carrées est continu pour la même raison. L'application qui à une matrice carrée fait correspondre sa matrice des cofacteurs est continue, toujours pour la même raison. Et l'inversion des matrices carrées de déterminant non nul est aussi continue (ici on utilise le fait que le passage à l'inverse est continu sur un corps topologique).



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