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continuité , Théorème des valeurs intermédiaires

Posté par
Lucas92
02-11-16 à 22:16

Voici la consigne : Pour tout nombre entier n > ou égale à 1, on note Pn le polynôme défini par Pn(x)= x^{n+1}-2x^n+1

Démontrer que l'équation Pn(x)=0 admet une solution comprise entre 2n/(n+1) et 2.
je n'arrive pas a le faire cette exercice , depuis + d'1 semaine je suis dessus , j'ai pas le choix j'ai besoin d'aide svp merci de m'aider .

j'ai de mon côté dérivée la fonction : (n+1)*x^n-2*n*x^{n-1}

Posté par
gerreba
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 02-11-16 à 22:46

Bonsoir: Tu factorises x^(n-1) dans f'(x)=x^(n-1)((n+1)x-2n)) ;le signe de f'(x) dépend    de
(n+1)x-2n qui s'annule pour x=2n/(n+1).Tu fais un tableau de variations  et il te sera  possible de répondre avec le TVI

Posté par
gerreba
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 02-11-16 à 22:49

TU remarqueras aussi que f(1)=0      (très  important..)  et f(2)=?

Posté par
gerreba
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 02-11-16 à 22:54

Excuse -moi ,le signe de f'(x) dépend aussi de celui de x en général (ici on se limite à x>0 pour la démonstration...

Posté par
Lucas92
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 03-11-16 à 18:48

Bonjour ,
Merci pour tes reponses maiiss ...

je factorise x^(n-1) donc f'(x)=x^(n-1)((n+1)x-2n))  ;

mais après j'ai pas compris tes indications donc , si je fais un tableau de signe :

Posté par
Lucas92
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 03-11-16 à 18:49

je ne vois pas comment ta trouver f(1)=0 les puissances de n j'en fais quoi ?

Posté par
Lucas92
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 03-11-16 à 19:11

f(1)=1 non ??

Posté par
gerreba
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 03-11-16 à 19:27

Bonsoir :  f(1)=1-2+1=0     Toute puissance de 1 est égale à 1   !

Posté par
gerreba
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 03-11-16 à 19:29

Par contre tu dois justifier que :    1<=2n/(n+1)<=2   pour tout n>=1

Posté par
Lucas92
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 03-11-16 à 23:19

ah d'accord , et donc n>=1 car pour n>=1 :  car la dérivée s'annule du coup en 2n/n+1 ? mais je n'arrive pas a le prouver par le calcul ??!

Posté par
Lucas92
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 03-11-16 à 23:25

pour f(2)= 2-2+1= 1  non ?

Posté par
Lucas92
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 03-11-16 à 23:26

eu plûtot : f(2)=2-4+1=-1 ?

Posté par
gerreba
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 04-11-16 à 13:19

Bonjour : Pour f(2), ce n'est pas la bonne explication!   f(2)=2^(n+1)-2*(2^n)+1     or
2*2^n=2^(n+1)        f(2)=1   oui mais....?   De plus f'(x)= 0  ssi  x=0   (à exclure..hors intervalle....),ou (n+1)x-2n=0   qui donne bien  x=2n/(n+1)     A toi....

Posté par
Lucas92
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 04-11-16 à 16:43

d'accord merci , je vais faire un tableau de variation avec tous sa , ..

Posté par
gerreba
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 04-11-16 à 17:19

Explique l'encadrement :   1<=2n/(n+1)<=2   pour tout  n >=1  (n entier)

Posté par
Lucas92
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 04-11-16 à 17:27

j'ai mis que fn(x) est  négatif sur l'intervalle ]0 , (2n)/(n+1)[ et positif sur l'intervalle ](2n)/(n+1) , +∞[  ??

Posté par
gerreba
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 04-11-16 à 20:02

Tu parles de f'n(x) ,j'espère ?

Posté par
Lucas92
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 04-11-16 à 21:54

oui oui dsl j'ai oublier l'apostrophe merci merci
donc c'est bien cela ?

Posté par
gerreba
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 04-11-16 à 22:06

Oui, d'accord !

Posté par
Lucas92
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 04-11-16 à 22:09

excuse moi gerreba mais j'arrive pas avec les calculs a trouver que f'(x)= 2n/n+1 ?

Posté par
Lucas92
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 04-11-16 à 22:10

du moins admet un minimum en 2x/n+1

Posté par
gerreba
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 04-11-16 à 22:19

f'(x)=0 si x=2n/(n+1)     f est d'abord décroissante jusqu'à  cette valeur  puis croissante..
f(x) présente bien un minimum pour cette valeur de x ?

Posté par
Lucas92
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 04-11-16 à 22:28

oui d'accord merci ;  d'accord mais lorsque je calcule f(2n/n+1)  je ne trouve pas que c'est = à 0 :( !!

Posté par
Lucas92
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 04-11-16 à 22:30

je voudrais montrer que f(2) et f(2n/n+1) sont de signe contraire mais je n'arrive pas a faire le calcul pour f(2n/n+1)

Posté par
gerreba
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 04-11-16 à 22:43

Sur ton tableau de variation tu places  aussi x=1  (f(1)=0) ;c'est pour ça que je tiens  à l'encadrement que je t'ai demandé  à 17h19 .Avec les variations de f tout va de soi..

Posté par
gerreba
re : continuité , Théorème des valeurs intermédiaires 04-11-16 à 22:50

Tu n'as pas à faire le calcul de f(2n/(n+1))!



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