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Continuité uniforme

Posté par
Mehdi62 15-01-18 à 14:50

Bonjour tout le monde!

Je sèche actuellement sur une question de mon TD d'analyse...
On me demande de montrer que toute fonction uniformément continue, est continue.
J'arrive à me représenter dans la tête ce que ça signifie, mais je n'arrive pas à commencer un raisonnement...

Merci pour votre temps

Posté par
jsvdbre : Continuité uniforme 15-01-18 à 15:04

Bonjour Mehdi62.
Écris la définition de l'uniforme continuité : \forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0, \forall x,y \in \R, |x-y| < \delta \Rightarrow |f(x) - f(y)| < \varepsilon.

Soient donc \varepsilon > 0 et le \delta > 0 correspondant.
Soit x_0 \in \R, fixé
Comme f est UC alors pour tout x \in \R tel que |x-x_0| < \delta alors |f(x_0)-f(x)| < \varepsilon ce qui est la définition de la continuité de f en x_0.

La différence entre la continuité et l'UC, c'est que dans L'UC, le \varepsilon ne dépend pas de x, il est le même uniformément pour tout x

Posté par
WilliamM007re : Continuité uniforme 15-01-18 à 15:15

Bonjour.

Dans l'uniforme continuité, c'est plutôt le \delta qui est uniforme en x.

Posté par
Mehdi62re : Continuité uniforme 15-01-18 à 15:23

Merci beaucoup pour vos rapides réponses !

C'est ça que j'aime dans les maths, chercher la démonstration de choses qui semblent triviales. ;D

Bonne journée !


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