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Contrexemple d'un sous-corps élémentaire

Posté par
Pentachito 22-04-20 à 04:42

Soit \mathcal{L} le langage de la théorie des corps et soient \mathfrak{A} et \mathfrak{B} deux \mathcal{L}-structures tel que \mathfrak{B} est un corps. Si \mathfrak{A}\prec\mathfrak{B} et p(x) est un polynôme avec des coéfficients dans l'univers de \mathfrak{A} tel que p(x)=0 a une solution dans \mathfrak{B}, alors p(x) a une solution dans \mathfrak{A}?

Je sais que \mathfrak{A}\prec\mathfrak{B} implique que \mathfrak{A}\equiv\mathfrak{B}. Donc je voudrais faire:

\mathfrak{B}\models(\exists x)(p(x)=0)\Rightarrow\mathfrak{A}\models(\exists x)(p(x)=0)

Mais por le faire il faudrait exprimer l'énoncé (\exists x)(p(x)=0) avec le langage \mathcal{L}. J'ai essayé mais je pense que c'est impossible puisque je ne suppose pas que \mathfrak{B} est algébriquement clos. Maintenant je pense que la réponse à la question est non mais je ne trouve pas un contrexemple.

Quelqu'un a-t-il un exemple?

Posté par
Camélia Correcteurre : Contrexemple d'un sous-corps élémentaire 22-04-20 à 14:33

Bonjour

Je ne connais rien à tout ce langage logique.
Néanmoins, le polynôme X^2-2 a des racines dans \R et pas dans \Q et X^2+1 a des racines dans \C et pas dans \R.

Posté par
malou Webmasterre : Contrexemple d'un sous-corps élémentaire 26-05-20 à 14:15

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Posté par
GBZMre : Contrexemple d'un sous-corps élémentaire 26-05-20 à 15:47

Bonjour,

En attendant que Pentachito se mette en règle, je peux tout de même lui signaler qu'il n'y a vraiment aucune difficulté à exprimer \exists x \ p(x)=0 comme un énoncé du langage de la théorie des corps à paramètres dans \mathfrak A.
Après, il n'y a plus qu'à appliquer la définition de sous-structure élémentaire.


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