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Niveau Maths sup
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converge et solvabilité

Posté par
Nyadis
28-03-20 à 18:38

Salut salut

J'aimerais montrer que dans un espace de dimension fini
si (Un)n est une suite qui converge normalement alors la famille  (Un)n est sommable

j'ai essayé d'utiliser le fait que toute somme fini d'élément *Un)n est majoré mais j'ai eu un problème lorsque j'introduit l'hypothèse. .

Merci de vos idée

Posté par
XZ19
re : converge et solvabilité 28-03-20 à 19:02

Bonjour
Je n'ai rien compris. En fait je ne sais pas ce que c'est une suite qui converge normalement. Cela serait bien que tu donnes la définition.  

Posté par
Nyadis
re : converge et solvabilité 28-03-20 à 19:22

Ok
je vais me donner un ensemble E  muni d'une norme ||.||

soit (Un)n∈IN une suite d'element de E

on dit quesoit (Un)n∈IN converge normalement si (||Un||)n∈IN converge simplement.

maintenant on suppose qu'on a une tel suite donc une suite qui converge normalement et on veut montrer que (Un)n est sommable

Posté par
jsvdb
re : converge et solvabilité 28-03-20 à 20:55

Salut !
Il y a un truc qui est clair, c'est que cet énoncé n'est pas clair.
En tout cas, il est certain que dans un espace vectoriel normé (et non pas un ensemble E muni d'une norme, ce qui ne veut rien dire) si une suite (U_n)_n vérifie que (||U_n||)_n converge dans \R, alors on ne peut certainement pas en déduire que (U_n)_n converge dans E et donc encore moins en déduire que la série concomitante est sommable.

Tu dois confondre avec ceci :

Soit E un espace de Banach et S= \sum u_n une série de cet espace.
Alors S est normalement convergente (c'est-à-dire que (\sum ||u_n||)_n converge) implique que S est convergente.

Posté par
WilliamM007
re : converge et solvabilité 28-03-20 à 22:03

Bonsoir.

J'irais même plus loin en disant que cette propriété caractérise les espaces de Banach. En effet, un espace vectoriel normé est de Banach ssi toute série normalement convergente est convergente.

Posté par
jsvdb
re : converge et solvabilité 28-03-20 à 22:08

Effectivement, il y a équivalence.

Posté par
Nyadis
re : converge et solvabilité 28-03-20 à 22:28

jsvdb @ 28-03-2020 à 20:55

Salut !
Il y a un truc qui est clair, c'est que cet énoncé n'est pas clair.
En tout cas, il est certain que dans un espace vectoriel normé (et non pas un ensemble E muni d'une norme, ce qui ne veut rien dire) si une suite (U_n)_n vérifie que (||U_n||)_n converge dans \R, alors on ne peut certainement pas en déduire que (U_n)_n converge dans E et donc encore moins en déduire que la série concomitante est sommable.

Tu dois confondre avec ceci :

Soit E un espace de Banach et S= \sum u_n une série de cet espace.
Alors S est normalement convergente (c'est-à-dire que (\sum ||u_n||)_n converge) implique que S est convergente.


non je ne me trompe pas dans l'enonce
je parle bien de la convergenve normal de la suite


dans le cas de la serie j'avais deja eu a etablir cette preuve

Posté par
jsvdb
re : converge et solvabilité 28-03-20 à 22:32

Bah, si tu parles de cette convergence normale, alors elle n'implique pas la convergence de la suite.

Posté par
jsvdb
re : converge et solvabilité 28-03-20 à 22:34

Mais c'est plutôt le contraire : si la suite converge alors elle converge normalement.

Posté par
Nyadis
re : converge et solvabilité 28-03-20 à 22:36

jsvdb @ 28-03-2020 à 22:32

Bah, si tu parles de cette convergence normale, alors elle n'implique pas la convergence de la suite.


je parle de la sommabilité de la suite

Posté par
jsvdb
re : converge et solvabilité 28-03-20 à 22:45

Elle sera pas plus sommable... Et c'est pas difficile de trouver des contre-exemples

Posté par
jsvdb
re : converge et solvabilité 28-03-20 à 22:47

Au sens de ta définition, une suite constante est une suite qui convergent normalement et elle est pas vraiment sommable sauf si il s'agit de l'élément nul.

Posté par
Nyadis
re : converge et solvabilité 28-03-20 à 23:00

jsvdb @ 28-03-2020 à 22:47

Au sens de ta définition, une suite constante est une suite qui convergent normalement et elle est pas vraiment sommable sauf si il s'agit de l'élément nul.


merci

Posté par
Zrun
re : converge et solvabilité 29-03-20 à 10:59

Une suite qui converge normalement , j'en ai jamais entendu parler .
Une série de fonctions qui converge normalement , là par contre oui je connais ...
Je pense qu'il faut revoir la terminologie

Posté par
WilliamM007
re : converge et solvabilité 29-03-20 à 11:55

Je suis assez d'accord avec Zrun.

Posté par
jsvdb
re : converge et solvabilité 29-03-20 à 13:14

C'est ce que j'essaye de faire comprendre depuis le début mais bon visiblement ça n'a pas marché.

Posté par
jsvdb
re : converge et solvabilité 29-03-20 à 13:15

On peut parler de la convergence normale d'une suite, c'est simplement un concept à introduire, comme on parle de l'absolue convergence d'une suite réelle.



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