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convergence au sens de Césaro

Posté par
aya4545 22-01-23 à 13:58

bonjour
priere m aider à dépasser ce blocage
(u_n)_{n\in \N} une suite
la suite  v_n=\frac{\sum _1^nu_n}{n} est appelée la moyenne de Cesaro liée à la suite (u_n)_{n\in \N}

1) montrer que si (u_n)_{n\in \N} convergente vers l alors la suite (v_n)_{n\in \N} convergente aussi vers l la réciproque est elle vraie ?
2) montrer que si (u_n)_{n\in \N} divergente  vers +\infty alors la suite (v_n)_{n\in \N} divergente aussi vers +\infty
3) montrer que si (u_n)_{n\in \N} divergente  vers -\infty alors la suite (v_n)_{n\in \N} divergente aussi vers -\infty la réciproque est elle vraie ?

j ai fait les deux questions 1) 2)
je suis bloquée dans la réciproque de 2)

réciproque de 2)
soit (u_n)_{n\in \N} la  suite définie par :

\begin{cases} \\ u_n&=n \text{ si n est pair } \\ \\ u_n&=-\frac 1n  \text{si n est impair} \\ \end{cases}. et je me trouve devant un petit problème
la moyenne de Césaro liée a cette suite est ce
v_{2n}=\frac 1 {2n} \sum_1^{2n}u_k   ou bien  v_{2n}=\frac 1 {n} \sum_1^{n}u_{2k}
de meme
v_{2n+1}=\frac 1 {2n+1} \sum_1^{2n+1}u_k   ou bien  v_{2n+1}=\frac 1 {n} \sum_1^{n}u_{2k+1}
et merci

Posté par
aya4545re : convergence au sens de Césaro 22-01-23 à 14:01

pardon
la suite  v_n=\frac{\sum _1^nu_k}{n} est appelée la moyenne de Cesaro liée à la suite (u_n)_{n\in \N}

Posté par
carpediemre : convergence au sens de Césaro 22-01-23 à 14:30

salut

j'aimerai bien voir les questions 1/ et 2/ !!

te demande-t-on la réciproque en 2/ ?

Posté par
aya4545re : convergence au sens de Césaro 22-01-23 à 15:36

bonjour carpediem


posons v_n=\frac{\sum _1^nu_k}{n}
montrons u_n\to l \implies v_n \to l
ona  

  \lim_{n\to +\infty}u_n=l donc : \forall \epsilon >0 \exists p(\epsilon)\in \N tel que\forall n\geq p on a   |u_n-l|<\frac {\epsilon}2.  

on a pour tout n superieur ou egale à p :
\\ |v_n-l |  =|\frac {u_1+u_2+...+u_n}n-l | \\        =| \frac {u_1+u_2+...+u_p+u_{p+1}+..+u_n}n-l | \\        =|\frac {(u_1-l)+(u_2-l)+...+(u_p-l)+(u_{p+1}-l)+..+(u_n-l)}n | \\        =|\frac {(u_1-l)+(u_2-l)+...+(u_p-l)}n+\frac {(u_{p+1}-l)+...+(u_n-l)}n | \\        \leq \frac 1n\sum_1^p|u_k-l| +\frac 1n\sum_{p+1}^n|u_k-l| \\
posons \sum_1^p|u_k-l|=K  ( c est une constante)
ona \lim \frac Kn=0
donc il existe t \in \N  \quad n>t \implies |\frac Kn |=\frac Kn <\frac {\epsilon }2
finalement en prenant N=\sup (p;t)
on a pour tout n\geq N \implies |v_n -l|\leq \frac {\epsilon}2+\frac {\epsilon}2=\epsilon
la réciproque n est pas vraie en effet
\bullet   la suite u_n=(-1)^n  on a
v_n=\frac 1 n \sum _1^n (-1)^k=
v_{2n}=0 et v_{2n+1}=-\frac 1n
v_{2n}\to 0 et v_{2n+1}\to 0
les deux suites extraites  (v_{2n})  et (v_{2n+1}) extraite de (v_n)  convergent vers la meme limite 0
(v_n) cv  vers 0 tandis que (u_n) est div

Posté par
aya4545re : convergence au sens de Césaro 22-01-23 à 15:44

oui j ai oublié de le mentionner la réciproque de 2) est demandée
notre prof nous a demandé d utiliser la suite  suivante pour prouver que la réciproque est fausse
soit (u_n)_{n\in \N} la  suite définie par :

\begin{cases} \\ \\ u_n&=n \text{ si n est pair } \\ \\ \\ u_n&=-\frac 1n  \text{si n est impair} \\ \\ \end{cases}.
il fallait donc prouver v_n\to +\infty et que (u_n) ne l est pas

Posté par
carpediemre : convergence au sens de Césaro 22-01-23 à 16:47

1/ ok pour la somme de 1 à p (K) et la somme de p + 1 à n ?



en posant n = 2p + e avec e valant 0 ou 1 alors  nv_n = \sum_1^n u_k = \sum_1^p (2k) - \sum_1^{p - 1} \dfrac 1 {2k + 1} - \dfrac e {2p + e} \ge p(p + 1) - \dfrac 1 3 (p + 1)

en remarquant que pour n impair supérieur à 3 alors 1/n < 1/ 3

ajuster la minoration avec plus de rigueur ...

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergence au sens de Césaro 22-01-23 à 20:03

Bonsoir

Pour la réciproque de 2) on peut remarquer que : \boxed{u_0=0} et \Large\boxed{\forall k\geqslant1~,~u_k=k\frac{1+(-1)^k}{2}-\frac{1}{k}\frac{1-(-1)^k}{2}}

et donc que : \Large\boxed{\forall n\geqslant1~,~v_n=\underbrace{\boxed{\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^nk}}_{a_n}+\underbrace{\boxed{\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^nk(-1)^k}}_{b_n}-\underbrace{\boxed{\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}}}_{c_n}+\underbrace{\boxed{\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}}}_{d_n}}

les deux suites (c_n) et (d_n) tendent vers 0 par Césaro.

la suite (b_n) est bornée (pas difficile à constater )

et la suite (a_n) tend vers +\infty ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
aya4545re : convergence au sens de Césaro 22-01-23 à 22:31

merci carpediem  merci elhor-abdelali


\Large\boxed{\forall n\geqslant1~,~v_n=\underbrace{\boxed{\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^nk}}_{a_n}+\underbrace{\boxed{\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^nk(-1)^k}}_{b_n}-\underbrace{\boxed{\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}}}_{c_n}+\underbrace{\boxed{\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{k}}}_{d_n}}

les deux suites

   \bullet u_k=\frac 1{2k} et v_k=\frac{ (-1)^k}{2k} convergent vers 0donc les  moyennes de cesaro liés à ces deux suites cv egalement vers 0 c est a dire que (c_n) et (d_n) convergent vers 0

   \bullet a_n=\frac{1}{2n}\sum_{k=1}^nk}}=\frac{n+1}4\to + \infty


\bullet   t_n=\sum _1^n k(-1)^k=-1+2-3+4+...+(n-1)(-1)^{n-1}+n(-1)^n

                 =0-1+2-3+4+...+(n-1)(-1)^{n-1}+n(-1)^n je fais la somme membre à membre j obtient

2t_n=-1+1-1+1 +.....+(n(-1)^n+(n-1)(-1)^{n-1})+n(-1)^n

2t_n=(-1)+(-1)^2+....+(-1)^{n-1} +n(-1)^n
t_n=\frac {-(1-(-1)^{n-1})}4+\frac{n(-1)^n}2=\frac {((-1)^{n-1}-1)}4+\frac{n(-1)^n}2

b_n=\frac {((-1)^{n-1}-1)}{8n}+\frac{(-1)^n}4 ce qui est facile à borner
et par suite v_n\to +\infty mais
u_{2n}\to +\infty et u_{2n+1}\to 0 donc (u_n) n admet pas de limite


merci
je vais voir la piste de carpediem

Posté par
aya4545re : convergence au sens de Césaro 23-01-23 à 11:40

bonjour
en  utilisant la piste de carpediem
v_{2n}=\frac 1 {2n} \sum_1^{2n}u_k =\frac {n(n+1)-(1+\frac 13+...\frac 1{2n-1})}{2n}
\forall k\geq 1 \frac 1{2k-1} \leq 1 \implies 1+\frac 13+...\frac 1{2n-1}\leq n
donc
v_{2n}\geq \frac n2 \to +\infty
donc v_{2n}\to +\infty
de la meme maniere on demontrerait v_{2n+1}\to +\infty donc v_{n}\to +\infty
et (u_n) n admet pas de limites

merci carpediem merci elhor et a bientot

Posté par
carpediemre : convergence au sens de Césaro 23-01-23 à 18:43

de rien

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : convergence au sens de Césaro 23-01-23 à 19:47

C'est un plaisir aya4545

Bonsoir carpediem

Posté par
carpediemre : convergence au sens de Césaro 23-01-23 à 19:57

hello elhor


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