Niveau maths spé

Convergence d'une série...

Posté par
Cyxo 03-10-17 à 16:27

Bonjour,

Voilà le sujet de l'exercice sur lequel je planche :
$(a_n)_{n \in \mathbb{N}} \text{ est une suite réelle positive. } u_n = \frac{a_n}{(1+a_1)(1+a_2)...(1+a_n)}$
Montrer que la série de terme général $u_n$ converge.

J'ai d'abord pensé à utiliser la règle de d'Alembert, mais ça ne donne rien comme on ne connais pas $a_n$ .
Ce matin, notre prof a précisé qu'il fallait voir un télescopage. J'ai essayé la décomposition en éléments simples, qui doit être montrable par récurrence pour tout n, mais je n'arrive déjà pas à faire la décomposition en éléments simples pour n=2. La méthode que l'on utilise d'habitude consiste à multiplier par l'un des dénominateurs et choisir une valeur pour x qui permet de trouver un des numérateurs. Mais là on a deux variables au lieu de x (voir n dans la récurrence) qui sont $a_1$ et $a_2$ .

Du coup, est-ce que c'est bien la bonne méthode ? Et si oui, comment faire la décomposition en éléments simples jusqu'à n ?

Posté par re : Convergence d'une série... 03-10-17 à 16:39

$a_n\geqslant 1\Leftrightarrow (1+a_n)\geqslant 1\Leftrightarrow \frac{1}{1+a_n}\leqslant ???$

Posté par re : Convergence d'une série... 03-10-17 à 16:49

Bonjour,

Je me demande s'il ne suffit pas de remplacer au numérateur $a_n$ par $(1+a_{n-1})-1$

ce qui permet de mettre $u_n$ sous la forme "télescopique" $u_n=v_{n-1}-v_n$

puis de faire la somme partielle $S_n$ , et de montrer qu'elle a une limite finie.