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Convergence d’une série alternée

Posté par
PaulLePoulpe 26-06-18 à 00:31

Bonsoir,
J'ai étudié la série de fonction de terme général fn(x)=(-1)^n*exp(-nx)/n.
Pour montrer la convergence simple de cette série, je pensais dire que pour tout entier naturel n, et tout réel positif x : |fn(x)| = o (1/n^2), grâce à l'exponentielle. La convergence absolue de cette série entraîne la convergence simple. De plus, pour x < 0, la série diverge grossièrement, et on a donc convergence sur R+.

Toutefois, dans les éléments de correction à ma disposition, il est indiqué qu'il faut passer par le critère de convergence spécial des séries alternées, ce qui me semble plus compliqué... où mon raisonnement serait faux ?

J'ai rencontré exactement le même souci pour montrer la convergence simple de la série de terme général : fn(x)=(-1)^n*exp(-x*n^1/2)/n.
On m'indique le critère spécial alors que c'est plus difficile

Merci d'avance,
Paul Le Poulpe

Posté par
luzakre : Convergence d’une série alternée 26-06-18 à 08:22

Bonjour !
D'où sors-tu ce "négligeable" devant \dfrac1{n^2} ? Il faudrait avoir x>0.
Pour x=0 l'utilisation de "séries alternées" me semble indispensable.

Dans ta correction on parle seulement de convergence simple ou de convergence uniforme ?

Je ne vois pas en quoi le "critère spécial" est plus difficile !

Posté par
PaulLePoulpere : Convergence d’une série alternée 26-06-18 à 14:38

Bonjour luzak et merci beaucoup pour ta réponse !
Je comprends, et effectivement, j'avais pas fait la distinction entre les cas x>0 et x=0
Ce qui me refroidit avec le « critère spécial » de convergence des séries alternées, c'est de montrer que pour tout x positif, la suite (|fn(x)|) est décroissante
Pour ça j'ai étudié le signe de la dérivée de l'application : h(n) = |fn(x)| où x est fixé et n est la variable par rapport à laquelle on dérive, mais ça m'a paru pas évident du tout et tordu, et encore plus avec la 2ème série de fonction

Sinon, je devais étudier la régularité de la somme donc l'utilisation du critère spécial des séries alternées est d'autant plus jutisfiée, pour obtenir la convergence uniforme

Posté par
carpediemre : Convergence d’une série alternée 26-06-18 à 18:16

salut

je ne sais pas ce qu'a de spécial le critère de convergence des séries alternées ...

et il est nécessaire lorsque x = 0


pour tout x > 0 :

s_p(x) = \sum_1^p (-1)^n \dfrac {e^{-nx}} n

|s_p(x)| \le \sum_1^p \dfrac {e^{-nx}} n \le \sum_1^p e^{-nx} = e^{-x} \dfrac {1 - (e^{-x})^p}{1 - e^{-x}} \to \dfrac 1 {e^x - 1} convergence monotone croissante  quand p tend vers l'infini

mais le critère naturel des séries alternées suffit largement ...

Posté par
PaulLePoulpere : Convergence d’une série alternée 26-06-18 à 21:26

Bonsoir carpediem,
On m'a appris en cours ce nom de critère «spécial»,que j'ai déjà retrouvé aussi sur internet,  mais c'est qu'un détail tant que l'on se comprend
Merci pour cette démo, c'est une autre manière interessante d'arriver au résultat !

Posté par
luzakre : Convergence d’une série alternée 27-06-18 à 08:16

Bonjour!
Le rapport des valeurs absolues est \dfrac{e^{-x\sqrt{n+1}}}{n+1}\dfrac{n}{e^{-x\sqrt n}}=\dfrac n{n+1}e^{x(\sqrt n-\sqrt{n+1})} et on voit facilement que c'est inférieur à 1.

@carpediem
bonjour !
Plus simplement la majoration |u_n(x)|\leqslant e^{-nx} et la convergence de \sum e^{-nx} suffisent.
La majoration des sommes partielles devrait s'utiliser sur la série des valeurs absolues (termes réels positifs).

Posté par
PaulLePoulpere : Convergence d’une série alternée 27-06-18 à 09:27

Bonjour luzak,
J'avais pensé à regarder la différence (pas facile) mais pas le rapport
Merci beaucoup !

Posté par
luzakre : Convergence d’une série alternée 27-06-18 à 12:42

C'est pareil : a-b=a(1-\dfrac ba)


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