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Convergence d'une suite

Posté par
barka54
22-01-22 à 20:34

Bonsoir,
J'ai besoin de votre aide pour traiter un exercice sur les suites numériques.
Merci d'avance.

Énoncé:
Soient a et b deux réels positifs tels que a≤b. On pose : u_{0}=a , v_{0}=b et pour tout entier naturel n, u_{n+1}=\sqrt{u_{n}v_{n}} , v_{n+1}=\frac{1}{2}(u_{n}+v_{n}}).

1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n et v_n existent et sont positifs (On dit que les suites (u_n) et (v_n) sont bien définies).
2. Montrer que les suites (u_n) et (v_n) convergent vers une limite commune l (l est appelée moyenne arithmético-géométrique des nombres a et b).


Mon début:
C'est la 2e question qui me dérange.
2. J'ai cherché à calculer les limites des suites u_n et v_n mais je n'ai pas leurs termes généraux. Néanmoins, J'ai pu exprimé u_n et v_n en fonction de u_(n+1) et v_(n+1) .
Auriez-vous une piste précise...

Posté par
carpediem
re : Convergence d'une suite 22-01-22 à 20:38

salut

montre que les suites sont adjacentes ...

Posté par
Razes
re : Convergence d'une suite 22-01-22 à 21:23

Bonsoir,

Utilise le théorème des suites adjacentes en t'aidant de l'Inégalité arithmético-géométrique (si tu ne connais pas l'Inégalité arithmético-géométrique, utilise  \left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )^{2}\geqslant 0\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}>0)

Posté par
barka54
re : Convergence d'une suite 24-01-22 à 19:34

Bonsoir,
Pour montrer que Vn et Un sont adjacentes, je dois prouver  que:
*l'une des deux suites est croissante et l'autre décroissante;
*Vn≥Un ou Un≥Vn
* la limite de leur différence tend vers 0.


on a: u²n+1=unvn c'est-à-dire 2u²n+1=2unvn
et 2vn+1=un+vn ;
En faisant la somme membre à membre  de ces deux égalités , on a :
un+vn-2unvn=2vn+1-2u²n+1=(√un-√vn)².

Est-ce à dire que d'après l'inégalité arithmético-géométrique, (√un-√vn)²≥0 <=>
2vn+1-2u²n+1≥0
soit vn+1≥u²n+1
Donc vn≥un (?)

Posté par
carpediem
re : Convergence d'une suite 24-01-22 à 19:54

il est aisé de montrer par récurrence la quadruple inégalité :

a \le u_n \le u_{n + 1} \le ... \le v_{n + 1} \le v_n \le b

Posté par
Razes
re : Convergence d'une suite 24-01-22 à 23:08

Bonsoir,

Il y a des erreurs dans tes derniers calculs.

Pour ce qui est de ta question, si tu développait  (\sqrt {u_n}-\sqrt {v_n})^2

Posté par
carpediem
re : Convergence d'une suite 25-01-22 à 08:47

carpediem @ 24-01-2022 à 19:54

il est aisé de montrer par récurrence la quadruple inégalité :

a \le u_n \le u_{n + 1} \le ... \le v_{n + 1} \le v_n \le b


on suppose donc que u_n \le v_n

montrer que :

a/ u_n \le v_{n + 1}  $ et $  v_{n + 1} \le v_n  $ et $  u_{n + 1} \le v_{n + 1}
b/ la minoration par a et la majoration par b sont alors élémentaires (immédiates)

a/ est de niveau collège ...

Posté par
carpediem
re : Convergence d'une suite 25-01-22 à 08:48

carpediem @ 25-01-2022 à 08:47

carpediem @ 24-01-2022 à 19:54

il est aisé de montrer par récurrence la quadruple inégalité :

a \le u_n \le u_{n + 1} \le ... \le v_{n + 1} \le v_n \le b


on suppose donc que u_n \le v_n

montrer que :

a/ u_n \le u_{n + 1}  $ et $  v_{n + 1} \le v_n  $ et $  u_{n + 1} \le v_{n + 1}
b/ la minoration par a et la majoration par b sont alors élémentaires (immédiates)

a/ est de niveau collège ...

Posté par
barka54
re : Convergence d'une suite 27-01-22 à 12:01

D'accord.
En supposant que Un≤Vn , je trouve bien après majoration l'inégalité:
a≤un≤un+1≤vn+1≤vn≤b.

On peut écrire a≤un≤b : la suite un est majorée et croissante car un+1≥un (déjà montré) , donc elle est convergente.

De plus, on a: a≤vn≤b , la suite      vn est minorée et décroissante car on a aussi vn+1≤vn : elle est aussi convergente.

On a un+1=√(unvn) . on a en termes de limites en +∞ :
lim un+1/un=lim √((lim v_n)/(lim u_n)).

Comme la suite un converge, lim un+1/un=1
=> lim vn=un=l ...
puis-je procéder ainsi?

Posté par
carpediem
re : Convergence d'une suite 27-01-22 à 12:19

ouais on peut ... parce que u_n et v_n sont bornés ...

mais le plus classique et simple est :

v_{n + 1} - u_{n + 1} = \dfrac 1 2 \left( \sqrt {v_n} - \sqrt {u_n} \right)^2 \le \dfrac 1 2 (v_n - u_n)

la dernière inégalité est à justifier bien sûr ...

voir par exemple Suites adjacentes

Posté par
barka54
re : Convergence d'une suite 27-01-22 à 15:21

D'accord.

Merci beaucoup à vous !

Posté par
carpediem
re : Convergence d'une suite 27-01-22 à 16:54

de rien



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