Bonsoir,
J'ai besoin de votre aide pour traiter un exercice sur les suites numériques.
Merci d'avance.
Énoncé:
Soient a et b deux réels positifs tels que a≤b. On pose : , et pour tout entier naturel n, , .
1. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, u_n et v_n existent et sont positifs (On dit que les suites (u_n) et (v_n) sont bien définies).
2. Montrer que les suites (u_n) et (v_n) convergent vers une limite commune l (l est appelée moyenne arithmético-géométrique des nombres a et b).
Mon début:
C'est la 2e question qui me dérange.
2. J'ai cherché à calculer les limites des suites u_n et v_n mais je n'ai pas leurs termes généraux. Néanmoins, J'ai pu exprimé u_n et v_n en fonction de u_(n+1) et v_(n+1) .
Auriez-vous une piste précise...
Bonsoir,
Utilise le théorème des suites adjacentes en t'aidant de l'Inégalité arithmético-géométrique (si tu ne connais pas l'Inégalité arithmético-géométrique, utilise )
Bonsoir,
Pour montrer que Vn et Un sont adjacentes, je dois prouver que:
*l'une des deux suites est croissante et l'autre décroissante;
*Vn≥Un ou Un≥Vn
* la limite de leur différence tend vers 0.
on a: u²n+1=unvn c'est-à-dire 2u²n+1=2unvn
et 2vn+1=un+vn ;
En faisant la somme membre à membre de ces deux égalités , on a :
un+vn-2unvn=2vn+1-2u²n+1=(√un-√vn)².
Est-ce à dire que d'après l'inégalité arithmético-géométrique, (√un-√vn)²≥0 <=>
2vn+1-2u²n+1≥0
soit vn+1≥u²n+1
Donc vn≥un (?)
Bonsoir,
Il y a des erreurs dans tes derniers calculs.
Pour ce qui est de ta question, si tu développait
D'accord.
En supposant que Un≤Vn , je trouve bien après majoration l'inégalité:
a≤un≤un+1≤vn+1≤vn≤b.
On peut écrire a≤un≤b : la suite un est majorée et croissante car un+1≥un (déjà montré) , donc elle est convergente.
De plus, on a: a≤vn≤b , la suite vn est minorée et décroissante car on a aussi vn+1≤vn : elle est aussi convergente.
On a un+1=√(unvn) . on a en termes de limites en +∞ :
lim un+1/un=lim √((lim v_n)/(lim u_n)).
Comme la suite un converge, lim un+1/un=1
=> lim vn=un=l ...
puis-je procéder ainsi?
ouais on peut ... parce que u_n et v_n sont bornés ...
mais le plus classique et simple est :
la dernière inégalité est à justifier bien sûr ...
voir par exemple Suites adjacentes
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