Bonjour,
Voici un sujet d'exam que j'essaye de faire mais ça fait un jour que je bloque:
Une mère de famille conduit sa voiture en décidant chaque intersection de tourner dans une
direction aléatoire, à gauche avec probabilité 1/2 et à droite avec probabilité 1/2, toutes les décisions
étant indépendantes. On note {X n } n > 1 une suite de variables aléatoires à valeurs dans {0, 1}
représentant les décisions.
Sa fille tente de prévoir ce que va faire la mère, et produit une suite de résultats {Y n } n > 1 , suite
de variables aléatoires à valeur dans {0, 1}.
(1) Soit f : {0, 1} 3 → {0, 1} une fonction. On suppose dans cette question seulement que
pour n > 4,
Y n = f (X n−3 , X n−2 , X n−1 ),
c'est-à-dire que la fille tente de prévoir la prochaine direction grâce à une recette qui fait
intervenir les 3 dernières directions.
(a) Que vaut E[X n |X n−1 , X n−2 , X n−3 ] ? E[Y n |X n−1 , X n−2 , X n−3 ] ?
(b) Calculer P(Y n = X n ).
(a)J'ai dit que les Xn sont indépendantes donc E[X n |X n−1 , X n−2 , X n−3 ]=1/2 et Yn est une fonction de X n−1 , X n−2 , X n−3 donc E[Y n |X n−1 , X n−2 , X n−3 ] vaut Yn
(b) Je n'ai pas réussi à le calculer même si je pense qu'il faut utiliser espérance conditionnelle
(2) On se place maintenant dans un nouveau cadre. On suppose que P(Y n = X n ) = 1 −(1 /n^2) pour n > 1.
(a) Montrer que Y n n'est pas indépendante de X n .
(b) Que peut-on dire de l'évènement A : “X et Y sont égaux partir d'un certain rang” ?
(c) La suite {Y n } n > 1 converge-t-elle en loi ?
(d) Montrer que la suite {Y n } n > 1 ne converge pas presque sûrement. Converge-t-elle en probabilité?
(a) j'ai fait par l'absurde en prouvant que E[1Yn=Xn] k{0,1}E[1Yn=k]E[1Xn=k]
(b)je ne suis pas sur est-ce que A = lim sup {P(Y n = X n ) = 1}
ou ={ lim sup P(Y n = X n ) = 1 }
(c) et (d) j'ai vraiment du mal avec les événements et comment appliquer Borel Cantelli
Si une âme charitable passe par là et peut me venir en aide pour les questions (c) et (d) et me dire si mes autres réponses sont correctes ce serait géniale
Merci d'avance!