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Convergence en loi

Posté par
raisinsec 23-03-21 à 12:54

Salut,

J'ai une question sur la convergence en loi d'une suite (X_{n}) tq X_{n}\sim^{iid} Unif(0,1).
On considère Y_{n}=min\left\{X_{1},...,X_{n} \right\} et on me demande de montrer que Y_{n}\rightarrow^{d}0

Mais j'ai du mal à voir pourquoi c'est vrai. J'ai : P(Y_{n}\leq x)=p(\bigcap_{i=1}^{n}{\left\{ X_{i} \leq x\right\})=\prod_{i=1}^{n}{P(X_{i}\leq x)}=\begin{cases} 0 & \text{ if } x<0 \\ x^{n}& \text{ if }0 \leq x<1 \\ 1 & \text{ if } x\geq 1 \end{cases} \rightarrow \begin{cases} 0 & \text{ if } x<1 \\ 1& \text{ if } x\geq 1 \end{cases}
quand n tend vers l'infini, qui est donc différent de 0.

Quelqu'un peut m'aider ?

Posté par
raisinsecre : Convergence en loi 23-03-21 à 13:32

C'est bon

Posté par
DOMOREAConvergence en loi 23-03-21 à 14:15

bonjour,
X_n tend vers la loi uniforme sur [0,1] soit f_n la fonction de densité de X_n
donc pour  x\in[0,1[ il existe n tel que \forall t\in[0,1], x<f_n(t) donc p(X_n<x)=0


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