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Convergence Epsilon

Posté par
Ehrmantraut 06-10-24 à 17:08

Bonjour,

J'aimerais montrer que Un=\dfrac{n}{\sqrt{n²+1}}
converge par la définition.

En calculant la limite, je sais qu'elle converge vers 1.

J'aimerais montrer donc que:
\forall \epsilon >0, \exists N \in \mathbb{N} tq \forall n >N |Un-1|<\epsilon

J'ai donc:
|\dfrac{n}{\sqrt{n²+1}}-1|<\epsilon
|\dfrac{n-\sqrt{n²+1}}{\sqrt{n²+1}}|<\epsilon
|\dfrac{n\sqrt{n²+1}-n²-1}{n²+1}|<\epsilon

Auriez-vous des conseils pour continuer?

Merci et bon après-midi à vous!

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Convergence Epsilon 06-10-24 à 17:51

Bonjour,
Plutôt que d'écrire "J'ai donc" pour quelque chose que tu n'as pas et que tu cherches à démontrer, commence par transformer un - 1 sans t'encombrer de "< ".
Une quantité conjuguée peut être utilisée.

Posté par
carpediemre : Convergence Epsilon 06-10-24 à 17:56

salut

tout d'abord commencer par une suite d'égalité allège la rédaction

ensuite on peut remarquer (et ça se démontre bien sûr) que 0 \le u_n \le 1

donc calculons :

1 - u_n = ... = \dfrac {\sqrt {n^2 + 1} - n}{\sqrt {n^2 + 1}}

or n \ge 0 \Longrightarrow n = \sqrt {n^2}

donc 1 - u_n = \dfrac 1 {\sqrt {n^2 + 1} \left( \sqrt {n^2 + 1} + \sqrt {n^2} \right) }

et si on veut que \dfrac 1 x \le e alors il suffit que x \ge \dfrac 1 e

à toi de réfléchir maintenant ...

Posté par
Ehrmantrautre : Convergence Epsilon 06-10-24 à 18:03

Ok merci pour vos réponses, je regarde à ça ce soir. Je devrais y arriver.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Convergence Epsilon 07-10-24 à 08:39

Bonjour Ehrmantraut,
Y es-tu arrivé ?


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