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Convergence et limites

Posté par
yns91 25-07-20 à 11:04

Bonjour l'ile !,

Je n'arrive pas  à faire cet exercice:

- Montrer les propositions suivantes :

A) Lorsque deux suites (u_n)  et (v_n)convergeant vers l et l' dans R alors on a (u_n + v_n) qui converge vers l+l'.

B) Pareil avec k réel et (k.u_n) converge vers k×l.

C)Pareil avec (u_n.v_n) convergeant vers l×l'

D) Pareil avec un quotient (u_n)/(v_n) (l' non nul)

E) Avec la valeur absolue, |(u_n)| converge vers |l|.


Recherche-réponses

A) on a (u_n) et (v_n)convergeant respectivement dans R vers l et l', (l,l') \in R^2 .

On sait que:

>0            N ; n>N,
|u_n-l|< \epsilon

Donc

>0            N ; n>N,
|u_n+v_n-l|< 2 \epsilon

Mais revenir à la définition me semble difficile...
Dois-je utiliser une autre méthode ?

Posté par
yns91re : Convergence et limites 25-07-20 à 11:05

Cela me semble faux

Posté par
Glapion Moderateurre : Convergence et limites 25-07-20 à 11:14

Bonjour, tu dois montrer que |un+vn-l-l'| peut être rendu petit pour un n assez grand.

utilise l'inégalité triangulaire |x+y| |x| + |y|

Posté par
yns91re : Convergence et limites 25-07-20 à 11:15

Bonne idée j'essaie !

Posté par
yns91re : Convergence et limites 25-07-20 à 11:28

Soit N_u le rang pour que tous les termes de (u_n) [l-;l+]

De même pour N_v. ( |v_n -l|< pour un certain rang )

Alors, si on prend N_{max}

On a pour tout réel k supérieur ou égal au rang N_max, d'après l'inegalité triangulaire,

[tex]|u_n - l + v_n - l'| < |u_n - l| + |v_n-l'| < \epsilon [tex]

Posté par
yns91re : Convergence et limites 25-07-20 à 11:29

Oups, formule mal écrite :
|u_n - l + v_n - l'| < |u_n - l| + |v_n-l'| < \epsilon

Posté par
Glapion Moderateurre : Convergence et limites 25-07-20 à 14:05

oui c'est ça, comme on peut rendre |un-l| et |vn-l'| aussi petit que l'on veut, on peut donc rendre aussi leur somme et donc |un+vn-l-l'|.

Reste à rédiger ça convenablement.

Posté par
sanantonio312re : Convergence et limites 25-07-20 à 15:02

Bonjour Glapion, yns91,
Une manière de faire peut-être. En espérant ni polluer ni déflorer le sujet.

Tu sais que:

\forall\varepsilon >0,\: \exists N /\: n>N \Rightarrow |u_n-l|<\varepsilon

\forall\varepsilon >0,\: \exists N' /\: n>N' \Rightarrow |v_n-l'|<\varepsilon

et tu dois montrer qu'il existe un  N'' tel que

\forall\varepsilon' >0,\: \exists N'' /\:n>N'' \Rightarrow |u_n+v_n-l-l'|<\varepsilon'

Posté par
yns91re : Convergence et limites 25-07-20 à 16:18

Donc là c'est terminé ?

Mais il faut que je rédige correctement...

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Convergence et limites 25-07-20 à 16:53

Bonjour,
Non, ce n'est pas terminé :

Citation :
tu dois montrer qu'il existe un N'' tel que
\;
Peut-être en "coupant" ' en deux morceaux ?

Posté par
yns91re : Convergence et limites 25-07-20 à 19:38

Oui,

Mais pourquoi on coupe epsilon en 2 ?
Il reste positif certes, mais on aurait pu le couper en 3,4,5 ...

Posté par
carpediemre : Convergence et limites 25-07-20 à 21:36

salut

parce que tu fais une somme de deux termes ...

PS : on n'est pas obligé de couper en deux ... puisque si h tend vers 0 alors son double aussi ...

Posté par
co11re : Convergence et limites 25-07-20 à 22:35

Bonsoir .... si ne dérange pas trop ....
Tu veux montrer que:  quel que soit > 0, il existe N  tel que si n > N, alors  \left|u_{n}+v_{n}- l - l' \right| <

Posté par
co11re : Convergence et limites 25-07-20 à 23:04

erreur de manip .... je poursuis
Donc soit > 0

On sait que \left|u_{n} + v_{n} - l - l' \right| \left|u_{n}-l \right| + \left|v_{n} - l'\right|

Les posteurs précédents te proposent de voir que chacun des termes du second membre sera inférieur à /2 "pour n assez grand"  .... (là il y aura à dire)

Maintenant tu peux couper en ce que tu veux : 2 nombres positifs dont la somme sera .
Bon, autant choisir /2 non ?

Posté par
co11re : Convergence et limites 25-07-20 à 23:12

J'aurais peut-être du écrire à 22h35 :
Tu veux montrer que:  quel que soit ' > 0, il existe N"  tel que si n > N" ...
Il faudra remplacer partout par ' et N par N"

Posté par
sanantonio312re : Convergence et limites 26-07-20 à 16:48

Salut co11 et tous les autres
Quels souvenirs ces coupes des et ' en 4

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Convergence et limites 26-07-20 à 17:00

Et oui \;

Posté par
yns91re : Convergence et limites 26-07-20 à 17:21

Oui c'est vraiment cool de faire des maths

Posté par
yns91re : Convergence et limites 26-07-20 à 17:25

Merci pour l'aide j'ai fini et j'ai compris la raison pour laquelle epsilon est coupée en 2

Posté par
co11re : Convergence et limites 27-07-20 à 23:26

Ah très bien  

Posté par
carpediemre : Convergence et limites 29-07-20 à 15:35

et as-tu fini les autres questions ?

Posté par
yns91re : Convergence et limites 29-07-20 à 18:28

Oui la plupart, le reste je n'ai pas le temps de faire, j'attaque les équations fonctionnelles

Posté par
carpediemre : Convergence et limites 29-07-20 à 19:43

dommage ... b et e sont élémentaires mais c et d sont les plus intéressantes car on y trouve un principe ou méthode fréquente en mathématiques ...

Posté par
yns91re : Convergence et limites 30-07-20 à 13:55

J'essaierai de les faire rapidement (ca travaille les inéaglités )

Je posterai ce que jai fait dans la semaine


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