Niveau école ingénieur

Convergence et vitesse d'un estimateur

Posté par
toureissa 22-10-21 à 05:46

Bonjour,

j'ai un souci face a l'exercice ci-dessous et j'aurais besoin de votre aide.

Soit le modèle statistique ( $\R^n\,\Q_{\theta}^{\otimes n}$ ) tel que pour chaque $\theta \succ 0$ , la loi $Q_{\theta}$ admet un moment d'ordre 4 et la variance de la loi $Q_{\theta}$   vaut $\theta$ . on note $\hat{\sigma _{n}}^{2}$ la variance empirique, i.e, si $(X_{1}, X_{2},.....,X_{n})\sim \Q_{\theta }^{\otimes n}$

$\hat{\sigma _{n}}^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{(X_i-\bar{X_n})^2}$

1) Montrer que l'estimateur $\hat{\sigma _{n}}^{2}$ est un estimateur consistant de   $\theta$ .

2) Determiner la vitesse et la loi limite de $\hat{\sigma _{n}}^{2}$

Quant a la question 1)

J'ai calculer l'esperance et la variance de l'estimateur qui valent $E(\hat{\sigma _{n}}^{2})=\frac{n-1}{n}\sigma ^{2}$
$V()=\frac{(n-1)^2}{n^3}(\mu ^4-\sigma ^{4})+2\frac{n-1}{n^3}\sigma ^4$   Je peux conclure que c'est un estimateur asymptotiquement sans biais dont la variance converge vers 0, donc il est consistant. Mais le calcul de la variance est fastidieux . J'aimerai savoir s'il y a une methode plus efficace pour montrer la convergence.

2) Pour le deux , on m'a demander d'utiliser la delta methode , j'aimerais que vous m'exoliquez bien la delta , car je ne le comprend pas bien.

Merci d'avance !

Posté par re : Convergence et vitesse d'un estimateur 08-12-21 à 07:09

Bonjour

Posté par re : Convergence et vitesse d'un estimateur 08-12-21 à 17:36

Bonsoir,

quand on parle d'un estimateur Tn consistant (faiblement, fortement) pour un paramètre , il faut s'assurer que Tn converge presque sûrement vers ce paramètre (fortement consistant) ou en probabilités (faiblement consistant).

Pour la méthode delta, je ne comprends pas où est le problème, que ne comprends-tu pas avec celle-ci ? (surtout qu'ici, j'ai plus l'impression qu'il faut appliquer Slutsky, mais quelqu'un de plus avisé me corrigera sûrement)