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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Convergence L1

Posté par
camalo
23-12-19 à 09:20

Bonjour à tous,

Quand dans un énoncé, on lit :  "fn converge vers f dans L1", ça veut dire ?
-lfn-fld 0
- est ce que de manière générale ça veut dire que nécessairement fL1 ?

Dans ce cas, si on a l'implication [ lfn-fld0.   fL1 ]
Comment la démontrer ?

Merci d'avance

Posté par
Alexique
re : Convergence L1 23-12-19 à 11:37

Bonjour,
prends f_n=f=n'importe quoi pas L1, comme une constante par exemple. Alors lfn-fld0 mais f n'est pas L1.

Posté par
Ulmiere
re : Convergence L1 23-12-19 à 12:08

Cependant, une limite L1 de fonctions de normes L1 bornées est L1 car

\int |f| d\mu = \int |f-f_n+f_n|d\mu \leqslant \int |f-f_n|d\mu + \int |f_n|d\mu \leqslant \int |f-f_n|d\mu + M \to M <\inftyM = \sup \lVert f_n\rVert_{L^1} est fini par hypothèse.

Posté par
camalo
re : Convergence L1 23-12-19 à 18:18

Bonsoir et merci !
Si je résume vos réponses car je ne suis pas sure d'avoir compris,

Alexique ce que vous dites vient du fait que fn elle même n'est pas L1?

En résumé :  ai-je bien compris que :
1) Alexique On peut avoir une convergence L1 : lfn-fl 0 sans que ni fn ni f soit dans L1 (au sens llfll1<) ??

2)Ulmiere Si fnL1 et que fnf (au sens de la convergence L1, de l'intégrale), alors fL1 ?

De plus, si notre seule hypothèse et que : fL1 et lfn-fl 0, peut-on conclure que fnL1 ?

Merci beaucoup

Posté par
camalo
re : Convergence L1 23-12-19 à 18:24

Voici ce que j'avais écrit dans mes notes en y pensant :

lfn-fl ≥ l lfnl-lfl l ≥l lfnl-lfl l
=l lfnl - lfl l

où l.l est la valeur absolue
Si l'on part de la dernière égalité, on voit que si fL1, par def lfl=, alors nécessairement
lfn-fl

C'est pour ça que j'en avais conclut que si on avait la convergence L1, forcément fL1
Qu'est ce qui ne va pas dans ma """preuve""" ?

Posté par
jsvdb
re : Convergence L1 23-12-19 à 20:12

Dans ta première suite d'inégalités, tu supposes implicitement que fn et f sont déjà  dans L1

Posté par
Alexique
re : Convergence L1 23-12-19 à 22:16

et surtout il faut revoir ta logique : la négation de  lfn-fl n'est pas  lfn-fl 0..

Citation :
En résumé :  ai-je bien compris que :
1) Alexique On peut avoir une convergence L1 : lfn-fl 0 sans que ni fn ni f soit dans L1 (au sens llfll1<) ??


oui...mais il est maladroit de parler de convergence L1 si personne n'est dans L1, il s'agit d'une convergence de suites de réels vers 0 tout simplement...

Posté par
camalo
re : Convergence L1 24-12-19 à 08:34

jsvdb @ 23-12-2019 à 20:12

Dans ta première suite d'inégalités, tu supposes implicitement que fn et f sont déjà  dans L1

Est-ce parce qu'on ne peut pas distribuer l'intégrale quand les quantités ne sont pas finies (dernière égalité)?

Citation :

oui...mais il est maladroit de parler de convergence L1 si personne n'est dans L1, il s'agit d'une convergence de suites de réels vers 0 tout simplement...

Donc pour parler de convergence L1 (et que ça ait un sens), il faut que fn soit de norme 1 bornée? (ce qui implique que f est de norme 1 bornée)

Posté par
Alexique
re : Convergence L1 24-12-19 à 10:03

Pour parler de convergence L1, il serait bien de connaître son cours et la définition de la convergence dans L1... Il y a quand même une histoire d'espace vectoriel et de sous espace vectoriel qui n'ont pas la même norme derrière tout ça...

Autre chose : "fn de norme 1 bornée" veut dire \forall n \in \mathbb{N}  \exists C_n>0  ||f_n||_1 \leq C_n et ce n'est pas ce qu'a écrit et ce qu'a voulu dire Ulmière...

Posté par
Ulmiere
re : Convergence L1 24-12-19 à 11:20

Je n'aime pas les expressions comme "(f_n) bornée dans L^1" avant le niveau master parce qu'en général ça (bien que ce soit très clair) ça les embrouille presque tout le temps. Du coup pendant 3 ans on a le cul entre deux chaises


Je voulais dire : \exists C\in\mathbb{R}_+ : \forall n\in\mathbb{N}, \lVert f_n\rVert_{L^1(\mu)} \leqslant C

Ce qui équivaut à : \sup\limits_{n\in\mathbb{N}}  {\lVert f_n\rVert_{L^1(\mu)}} < \infty

Posté par
Alexique
re : Convergence L1 24-12-19 à 20:39

c'est camalo que je reprenais et pas toi Ulmière, tu as été très clair (on parle de famille uniformément bornée je crois, comme dans les hypothèses du théorème d'Ascoli...)



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