Pour p différent de 3 et 5. Si (u_n) (qui est une suite d'entiers p-adique) convergeait, elle convergerait vers une certaine unité u. En particulier mod p tu aurais u_n constant à partir d'un certain rang mais 15^{-n} n'est pas constant mod p car (15,p)=1 et donc 15 génère (Z/p)^*

Pourquoi cette limite convergeait nexessairement vers une unité?

Parce que la valuation est continue, mais ca n'a de toute façon pas d'importance pour ta question.

Ok Merci

Et le fait qu'en particulier u_n est constant à partir d'un certain rang ce démontre comment?

C'est parce que Q_p est complet et que toute suite convergente est une suite de Cauchy?

Je n'ai pas dit que (u_n) etait constant à partir d'un certain rang mais que (u_n mod p) l'etait.
Cela provient directement de la définition en fait, v_p(u_n-u)>0 impose u_n=u mod p. Ou aussi par exemple parce que la projection Z_p -> Z_p/(p) est continue où Z_p/(p) est muni de la topologie disrete (l'image réciproque d'un singleton est un ouvert compact de la forme a+pZ_p)

Au passage tu peux aussi remarquer que (15^{-n})_n n'est pas de cauchy en effet. Ce qui règle également le problème d'une façon encore différente.

C'était peut etre le sens de ta remarque

Soient p un entier premier et u : Q_p , la suite  n   15^-n .
Si u convergeait la suite w : n   u(n-1) - u(n) = 2.7.3^-n.5^-n convergerait vers 0 càd que n v_p(2.7.3^-n.5^-n) convergerait vers + .
Il est facile de voir que ce n'est jamais le cas .

Pour prolonger : Si a et a > 1 , la suite u_a : n a^-n converge-t-elle dans un Q_p ?