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Convergence série

Posté par
clara2121 26-09-23 à 17:38

Bonjour, j'ai cette série à étudier en montrant qu'elle converge absolument si X = variable aléatoire valeurs dans N, mais je ne sais pas comment m'y prendre :

Σ (de k allant de 0 à +inf) de P(X = k)t^k (une proba par conséquent, avec t appartenant à [-1, 1])

merci d'avance

Posté par
lionel52re : Convergence série 26-09-23 à 18:30

Pourquoi la série des P(X=k) converge?

Posté par
clara2121re : Convergence série 26-09-23 à 19:02

oui avec la multiplication par t^k

Posté par
carpediemre : Convergence série 26-09-23 à 19:33

salut

lionel52 te pose une question qui ne demande pas une réponse par oui ou par non mais un argument !!

ensuite il serait préférable de nous donner un énoncé exact et complet au mot près sans fioriture ni autre car ce n'est pas très clairlionel52

Posté par
verdurinre : Convergence série 26-09-23 à 19:36

Bonsoir,
pour préciser l'indication de lionel52 que peut-on dire de \sum_{k=0}^\infty \text{P}(X=k)\;?

Posté par
clara2121re : Convergence série 26-09-23 à 19:51

que c'est compris entre 0 et 1 ?

Posté par
clara2121re : Convergence série 26-09-23 à 19:53

ah et donc qu'on pourrait la majorer par la série de 0 à +inf de t^k qui est une somme géométique et qui donc converge (et absolument si l'on prend la valeur absolue au départ) ?

Posté par
carpediemre : Convergence série 26-09-23 à 20:07

revois les propriétés d'une probabilité  pour être un peu plus précis

Posté par
verdurinre : Convergence série 26-09-23 à 20:47

De façon générale, si X est une variable aléatoire à valeur dans \R, on a bien 0\leqslant\sum_{k=0}^\infty \text{P}(X=k)\leqslant 1\,.

Ce qui suffit pour prouver la convergence absolue de la série de terme général \text{P}(X=k)t^k quand t\in[-1\,;1] car dans ce cas \bigl|\text{P}(X=k)t^k\bigr|\leqslant \text{P}(X=k).

Mais on peut-être plus précis sur la valeur de \sum_{k=0}^\infty \text{P}(X=k) dans le cas où X est à valeur dans \N.


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