Tu peux au moins majorer en valeur absolue le terme général par 1/n , série connue, ce qui permet de tirer quelques premières conclusions.

Précision : Le symbole somme est à placer devant le Cos, pas devant f bien sûr.
Pour ce que vous me dites, on aura les condition d'absolue convergence (peut être incomplètes...)
Merci

Soit a > 0 .
   Pour n * et x on pose u_n(x) = cos(nx)/n^a et f_n = u₁ + u₁  +.....+ u_n .
Chaque f_n est paire et 2-périodique .
Il est facile  de voir si f_n (0) et f_n(/2) convergent .
De même si a > 0 , je pense que tu sais montrer que la suite n   f_n converge uniformément .

On se limite donc à des x de  ]0 , [ .
Pour voir que  la suite n   f_n(x) converge on montre qu'elle  est de Cauchy .
Pour ça on prend p et q dans * et on cuisine   (à la façon de M. Abel )   f_{p + q}(x) - f_p (x)  càd u _p (x) + u _p+1 (x) +....+ u _{p + q} (x)

On pose A₀ = cos(px) , A₁ = cos((p + 1)x) ,....., A_n = cos(px) + cos((p + 1)x) +.......+ cos((p + n)x) , .....
de sorte que u _p (x) + u _p+1 (x) +....+ u _{p + q} (x) =  A₀/p^a + (A₁ - A₀)/(p + 1)^a + .....+ (A_p+q - A_p+q-1)/(p + q)^a
=A₀(1/p^a - 1/(p+1)^a) +  A₁ (1/(p+1)^a  - 1/(p+2)^a) +........

On continue en majorant chaque |A_k| par 1/sin(x/2) ( majoration obtenue en condensant  A_n = cos(px) + cos((p + 1)x) +.......+ cos((p + n)x) , qu'on a certainement du te demander de faire en exo si ce n'a pas été fait en cours ).

Bonjour !
Tu devrais commencer par les cas faciles (définition et continuité) et (dérivabilité).

Si tu ne connais pas le théorème d'Abel tu suis les conseils de etniopal (ou cherche des documents sur "transformation d'Abel", "condition suffisante d'Abel", "convergence uniforme des séries trigonométriques") mais ce sera du boulot si tu dois tout retrouver tout seul !