Bonjour... il suffit de reprendre la définition d'une fonction continue par morceaux
En remarquant que ça devrait être assez simple de continuer

Cool merci :

f est continue sur ]0,1[  donc j'ai a(i-1) = 0 et ai=1 => f continue sur ]a(i-1),ai[

et la limite en 0+ de f(x) vaut 0 , la limite en 1-  vaut 0  donc les limites en a(i-1) et ai sont finies et existent f est continue par morceaux sur [0,1]
La valeur prise en 1 n'importe pas ni dans la continuité ni dans le calcul de l'intégrale.

Donc l'intégrale entre 0 et 1 de f(x)dx vaut 0.

C'est correct ?

Oui c'est correct... mais tu pouvais juste dire que la fonction était en escalier et que la subdivision convenait, puis en déduire la valeur de l'intégrale (d'une fonction en escalier).

Super clair merci

J'ai oublié une chose : y a t-il convergence uniforme ?

Le théorème est : "si une suite de fonction (fn) converge uniformément sur [0,1] vers une fonction f et les fn sont continues alors f est continue."

Ici les fn sont continues sur [0,1]
f est continue par morceaux mais est-elle continue ? Je dirai non mais je suis pas sûr à 100%

Tu ne peux pas appliquer ce théorème pour ta suite de fonctions.
Si on étudie la convergence uniforme des , on trouve que donc on n'a pas .
Et puis... il est clair que n'est pas continue sur [0,1]

Je voulais utiliser non P => non Q

Comme f n'est pas continue alors (fn) ne converge pas uniformément.

f n'est pas continue sur [0,1] car lim (1-)f(x) = 0 alors que lim (1+) f(x) = 1 c'est bien ça ?

Si tu veux raisonner par contraposition, tu dois montrer que ça entraîne ne converge pas uniformément OU que les ne sont pas continues (pas pratique...)

Mais le plus simple (en pratique) reste de montrer que , et donc ça ne converge pas uniformément vers f sur [0,1].

*

Oui je vois mais ici il fallait montrer que la suite (fn) ne peut pas converger uniformément vers f sur [0,1] car chaque fonction (fn) est continue sur [0,1] alors que f ne l'est pas problème en 1....

De mon côté je ne vois pas le soucis ici à utiliser la contraposée, la méthode que SkyMtn te montre est la plus utile mais ça n'empêche que l'on puisse raisonner autrement ici.
Je remets les choses un peu au clair :

Je cite ton théorème:
(fn) convergent uniformément vers f   ET les fn sont continues            f est continue

La contraposée est donc celle ci :
f non continue       (fn) convergent non uniformément vers f OU fn ne sont pas continues


Tu as trouvé que f n'est pas continue, il faut donc utiliser que tes fn sont continues pour montrer qu'il n'y a pas convergence uniforme

Merci pour ces éclaircissement !

Que signifie   " f_n ne sont pas continues "    ?

n on a f_n  est non continue  ?

n  tq f_n  est non continue  ?