essaie de passer au carré car tu as des termes positifs.
ainsi il suffit de vérifier que

merci par contre je ne comprends pas trop.
Quand je passe au carré: racine(xy) < (1/2)(x+y)
Cela donne xy < (1/4)(x²+y²) + (1/2)xy
<=> (1/2)xy < (1/4))(x²+y²)
<=> xy < 1/2(x²+y²)

Est ce que je me trompe ?
Comment continuer ?
Merci !

Il me semble que c'est bon...
Mais souvent, pour démontrer une inégalité, il est utile de passer à la différence et d'en étudier le signe :

[ xy < 1/2(x²+y²) ]    [ 0 < .(x²+y²)  - xy ]
                       [ 0 < .(x²+y²)  - .(2.xy) ]

Vois-tu où je veux en venir ?...

Oui merci donc il suffit de montrer que x²+y²>2xy
Mais je ne vois pas trop comment ...

C'est ça oui !
Et je te disait que cela était équivalent à montrer que
x² + y² - 2.x.y > 0
(car c'est parfois plus facile d'étudier le signe d'une quantité...)

Ne vois-tu pas comment factoriser ceci ?!

.

merci beaucoup tout le monde

Je reviens à ma démonstration de x² + y² - 2.x.y > 0 :

Il suffisait simplement de remarquer que x² + y² - 2.x.y = (x-y)²
Or (x-y)² 0 (le carré d'un nombre est forcément positif)
et x y (car par hypothèse, x < y)
Donc en fait (x-y)² 0

Et donc (x-y)² > 0

Il s'ensuit que x² + y² - 2.x.y > 0
Ce qu'il te manquait pour conclure

@+
Emma

j'ai une derniere petite question.
Pour demontrer que les suites sont adjacentes, je dois aussi montrer que les suites ont la meme limite. (ou alors que la différence des deux suites tend vers 0) Comment puis je calculer cette limite sachant que je n'ai pas les termes généraux de Un et Vn ?
Merci milles fois

de rien mille fois


As-tu déjà démontré que les deux suites convergent ?
Si oui, tu introduis l la limite de () et l' la limite de ()

Tu sais que, pour tout n,
       =
et     = .()

Donc, par passage à la limite lorsque n tend vers ,
      l  =
      l' =

Reste à résoudre ceci

en fait j'ai juste dis dis que Un était croissante et Vn était décroissante et que Un < Vn Donc que les suites convergeaient vers la meme limite.
Je pense que c'est bon, non..?
merci beaucoup de votre aide..

Pourriez vous me donner une indication pour l'étude de la convergence de ces suites ..
Un=(n sin(n!-1515)) / (1+n²)
Un=(1+4+9+...+n²) / n^3
Un=racine(1+n+n ln n) - racine(n)
Un=(n + (-1)^n) / (n - (-1)^n)
Un=(-1)^n (2 (-1)^n + 3)
Un=(-1)^n (2 (-1)^n + (3/racine(n)))

() est croissante, certes, mais pour conclure qu'elle est convergente, il faut justifier qu'elle est majorée (<font color="red"><u>par quelque chose qui ne dépend pas de n !!</u></font>)

Mais comme () décroît, c'est que, pour tout n,    
Et donc  pour tout n,     

Cette fois c'est bon :
() est croissante et majorée (par ). Donc elle converge : notons l sa limite.

De même, Comme () croît, c'est que pour tout n, ()
Et donc pour tout n,    
Donc  () décroît et est minorée (par   ). Donc () converge.
Soit l' sa limite.


Je t'ai déjà justifié que
Mais donc
D'où

Et donc

Donc le deux suites convergent vers la même liminte.
Or l'une croît et l'autre décroît...
Donc elles sont adjacentes

Merci j'ai bien compris.

Pourriez vous me donner une indication pour l'étude de la convergence de ces suites ..
Un=(n sin(n!-1515)) / (1+n²)
Un=(1+4+9+...+n²) / n^3
Un=racine(1+n+n ln n) - racine(n)
Un=(n + (-1)^n) / (n - (-1)^n)
Un=(-1)^n (2 (-1)^n + 3)
Un=(-1)^n (2 (-1)^n + (3/racine(n)))