Bonjour coa314 ,


tu peux commencer par établir que .


d'où .


et une petite étude montre alors que _{sauf erreur bien entendu}

Bonjour coa347
Tu peux déjà noter qu'il y a convergence uniforme sur tout ouvert inclus dans [0,1] car les deux fonctions qui composent la somme sont uniformément convergentes sur les mêmes ouverts.

Bonsoir,
elhor_abdelali Super, merci beaucoup. C'est plus simple et plus rapide en effet. Avec mes fonctions, j'étais arrivée à la majoration .

jsvdb Tu veux dire sur tout fermé inclus dans , car est un ouvert inclus dans, et la fonction n'est pas uniformément convergente sur cet ouvert, car elle converge simplement vers la fonction nulle, et ?

Oui, au temps pour moi, il s'agit effectivement de tout ouvert (ou tout fermé) fortement inclus dans [0,1], donc de la forme |a,b| tels que 0 < a < b < 1.

Cela dit, tu peux oublier ma méthode car elhor_abdelali a tout dit ... même si ce n'est pas ce qui vient spontanément à l'esprit.

Merci jsvdb. Les fonctions convergent uniformément sur tout fermé inclus dans [0,1], mais dans tous les cas, on ne peut pas en déduire qu'elles convergent uniformément sur [0,1].

Nos messages se sont croisés. Sa méthode est élégante en tout cas, disons qu'il faut oser faire un calcul direct.

Cela dit, je me permets de montrer ce que j'ai fait :



Donc s'annule en un point (à vérifier) tel que

En un tel point, il vient ceci :

qui est clairement une quantité positive qui tend vers 0 quand n tend vers +.

Il faut rajouter qu'il reste l'objection que ne soit pas un point de maximum, mais juste un point d'inflexion de .

Réponse : montrer que est l'unique point où s'annule sur [0,1] et conclure dans ce cas que, n'ayant pas de max local et que , on a que le max de est alors atteint en 1.

Comme , on peut alors à nouveau conclure à la convergence uniforme.

Erratum :

montrer que est l'unique point où s'annule sur ]0,1[

une petite coquille


lire plutôt


Bonjour jsvdb

Bonjour jsvdb,

Une étude de la fonction , ou plutôt de la fonction qui est de même signe que montre que .
On a : . Une nouvelle étude de la fonction sur montre que le maximum de cette fonction est atteint en où elle prend la valeur .
On en déduit : , qui tend vers .

On peut obtenir une majoration un peu meilleure encore avec la formule de elhor_abdelali pour grand : .

Par étude de la fonction ,  on a que   est bien un point de maximum de .