Il faut que je rajoute que est une fonction de D dans E et que je regarde partant de D.

salut

il faudrait donner un énoncé beaucoup plus complet et précis : que sont D et E ? propriété des fonctions f_n ?

mais il me semble que si f est uniformément continue sur l'intervalle ouvert ]a, b[ alors elle est uniformément continue sur l'intervalle fermé [a, b] ...

La question est la suivante :
Soient D et E des domaines de et une suite de biholomorphismes de D sur E. On suppose que converge uniformément sur tout compact de D vers une fonction non constante f. Prouver que est un biholomorphisme de D sur E.

Or, on sait grâce au théorème de Weierstrass sur les suites de fonction holomorphes que f est holomorphe sur D. Le théorème de Hurwitz permet d'affirmer que f est injectives puisque c'est la limite simple d'une suite de fonction injective non constant.

Pour la surjectivité, la correction dit cela :
Les étant à valeurs dans E, f est à valeurs dans l'adhérence de E. Supposons qu'il existe z dans D tel que . Alors, ( bord de E). Par ailleurs, f étant non constante, est un ouvert de . Donc , voisinage d'un point de , rencontre . Soit tel que . Comme est un ouvert,
pour n assez grand, ce qui est absurde. Donc f est un biholomorphisme de D dans E.

oups, il y a une petite erreur : c'est f qui est non constant pas la suite de fonction dans le paragraphe du milieu.