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convergence uniforme ou pas

Posté par
Saiga 12-08-18 à 10:38

Bonjour, j'ai un petit doute quant à l'exercice suivant :

Soit (g_n)_n la suite de fonction définie par : g_n(x)=n^\alpha(1-x)x^n, où 0<\alpha<1, n\geq 1, sur [0,1].

1) Etudier la convergence simple, puis uniforme de la suite de fonctions (g_n)_n sur [0,1] (sans faire d'étude de fonction).

2) En déduire sans calcul la valeur de \int_0^1 g_n(t)dt.
__________________________________________________________________________________________________

Voici ce que j'ai fait pour le moment :

1)Soit 0<\alpha<1 .

Pour la convergence simple :

Lorsque x\in \left\{ 0,1\right\}, on a g_n(x)=0, pour tout n\geq 1.

Lorsque x\in ]0,1[, on a que : g_n(x)\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}0.

Donc, la suite de fonctions (g_n) converge simplement vers 0 sur [0,1].

Pour la convergence uniforme :

Et bien mise à part essayer de bidouiller avec la définition, je ne vois pas trop comment m'en sortir, sachant que je ne vois pas trop déjà comment bidouiller...

Posté par
coa347re : convergence uniforme ou pas 12-08-18 à 11:55

Bonjour,

Avec étude de fonctions, il suffit de montrer que : \underset{x\in [0,1]} \sup (g_n(x))\underset{n\rightarrow+\infty}{\longrightarrow}0 :
Pour un n fixé, on calcule le sup de la fonction g_n sur [0, 1] en fonction de n, et on voit que la suite des sup tend vers 0. Donc la suite de fonctions converge uniformément vers la fonction nulle.

Posté par
larrechre : convergence uniforme ou pas 12-08-18 à 12:03

Bonjour,

Citation :
(sans faire d'étude de fonction).
dixit l'énoncé

Posté par
coa347re : convergence uniforme ou pas 12-08-18 à 12:16

larrech @ 12-08-2018 à 12:03

Bonjour,

Citation :
(sans faire d'étude de fonction).
dixit l'énoncé

C'est bien pour cela que j'ai précisé : "avec étude de fonctions". Mais cela donne la réponse sur la convergence uniforme et peut donner une indication pour faire sans étude de fonctions.

Sans étude de fonctions,on peut donc essayer d'obtenir la majoration de g_n(x) sur [0,1] indépendante de x : \dfrac {n^{\alpha -1}}{e}. Je n'ai pas essayé, sans garantie.

Posté par
luzakre : convergence uniforme ou pas 12-08-18 à 12:59

Bonjour !
1. Pour 0\leqslant x\leqslant a<1 c'est facile puisque |g_n(x)|\leqslant n^{\alpha}a^n...

Pour l'intervalle [a,1], sans étude de la fonction, je ne vois pas...
Mais il est exact que la convergence est uniforme sur [0,1].

2. Je pense qu'on demande, sans calcul, de donner la limite de la suite des intégrales
car le calcul des intégrales est facile et se fait de tête.
Dans l'esprit de "en déduire" je dirais que ( la convergence uniforme étant démontrée) la limite de n\mapsto\int_0^1g_n est nulle.

Mais c'est un peu capillotracté car on peut majorer facilement \int_0^1g_n par une suite de limite nulle...

Posté par
Saigare : convergence uniforme ou pas 12-08-18 à 14:25

Re-bonjour,

Je suis arrivé au même point que vous deux :

- J'ai fait l'étude de fonction pour voir...
- J'ai fais quelque chose de similaire à ça qu'à proposer luzac en m'inspirant d'un exercice du Gourdon analyse... mais je suis bloqué au même point...

Posté par
carpediemre : convergence uniforme ou pas 12-08-18 à 14:58

salut

g_n(x) = n^a(1 - x)x^n = (1 - x)x^nn^a \le nx^n car 0 < a < 1

la croissances comparée des fonctions polynomiales et exponentielle nous permette de conclure que g_n  tend uniformément vers 0 sur ]0, 1[

Posté par
verdurinre : convergence uniforme ou pas 12-08-18 à 19:22

Bonsoir,
en reprenant les notations de luzak.

Sur ]a\,;1] on a g_n(x)<n^\alpha(1-a).

Et on fait tendre a vers 1 pour montrer la convergence uniforme.

Posté par
coa347re : convergence uniforme ou pas 12-08-18 à 21:56

verdurin @ 12-08-2018 à 19:22

Bonsoir,
en reprenant les notations de luzak.

Sur ]a\,;1] on a g_n(x)<n^\alpha(1-a).

Et on fait tendre a vers 1 pour montrer la convergence uniforme.

Bonsoir,

Je ne suis pas convaincue par cela, qui donne : \underset{x\in ]a,1]} \sup (g_n(x))=n^{\alpha}(1-a), qui ne tend pas vers 0 quand n \rightarrow +\infty.

Posté par
verdurinre : convergence uniforme ou pas 12-08-18 à 22:21

Certes, mais
\forall n\in\N^*\lim_{a\to1}n^{\alpha}(1-a)=0

Posté par
coa347re : convergence uniforme ou pas 12-08-18 à 22:50

Mais cela ne correspond pas à la définition de la convergence uniforme où le sup de la fonction doit tendre vers 0 quand n tend vers l'infini.

A mon avis, il faut arriver à montrer sans étude de fonction que 0<x^n(1-x)<\dfrac{1}{n} pour tout n \geq 1, et tout x \in ]0,1[.

x^n(1-x)<\dfrac{1}{n} \Leftrightarrow \dfrac{1}{1-x} > nx^n. Or ceci est vrai par le développement en série entière de \dfrac{1}{1-x} sur [0,1[.

Donc |g_n(x)| < n^{\alpha-1} qui tend vers 0 quand n tend vers l'infini. On obtient ainsi la convergence uniforme.

Posté par
luzakre : convergence uniforme ou pas 12-08-18 à 23:16

Bonsoir carpediem

Citation :

la croissances comparée des fonctions polynomiales et exponentielle nous permette de conclure que g_n  tend uniformément vers 0 sur ]0, 1[

La majoration par nx^n ne permet pas de conclure puisque la borne supérieure est n.

@coa347
Ta trouvaille est intéressante mais "interdire l'étude d'une fonction" pour la remplacer par cette astuce est un peu shadockienne : pourquoi faire simple etc...

Posté par
coa347re : convergence uniforme ou pas 13-08-18 à 07:40

Bonjour,

@luzak Pour rappel, l'énoncé de l'exercice demande une démonstration sans étude de fonction. Ce n'est donc pas une "trouvaille", mais une solution de l'exercice.

Par ailleurs,  cela peut être bien de ne pas toujours se précipiter sans réfléchir sur les études de fonctions pour trouver des majorations ou des minorations. C'est certainement le but de l'exercice (je n'en vois pas d'autres pour la 1ère question).

Posté par
coa347re : convergence uniforme ou pas 13-08-18 à 07:44

D'ailleurs il y a des fois où l'étude de fonction ne mène à rien (dérivée trop compliquée, ingérable), tandis qu'une étude directe (ou un panaché des 2) peut être beaucoup plus simple et mener à la solution.

Posté par
DOMOREAconvergence uniforme ou pas 13-08-18 à 11:40

bonjour,
on a g_n(0)=g_n(1)=0  les fonctions  x \longrightarrow g_n(x) sont  continues sur le compact [0,1]
pour 0<x<1  ln(n^{\alpha}x^n)=n(\alpha\frac{ln(n)}{n}+ln(x)) qui tend vers -\infty quand n tend vers \infty
on a donc la convergence simple vers 0, donc max(g_n(x)) tend vers 0, la fonction constante nulle sur [O,1] est continue sur un compact, il y a donc convergence unifoerme

Posté par
coa347re : convergence uniforme ou pas 13-08-18 à 14:27

DOMOREA @ 13-08-2018 à 11:40


on a donc la convergence simple vers 0, donc max(g_n(x)) tend vers 0

Bonjour,

Justement, tout le problème est là. Et je ne crois pas qu'on puisse déduire de g_n continues et la suite converge simplement vers une fonction continue, que la suite g_n converge uniformément, même sur un compact ?

Posté par
luzakre : convergence uniforme ou pas 13-08-18 à 14:51

Bonjour DOMOREA
Tu as le classique :
g_n affine par morceaux dont le graphe est formé des segments joignant les points (0,0),\;(1/(2n),1),\;(1/n,0),\;(1,0).
g_n est continue sur le segment [0,1] et g_n(0)=g_n(1)=0 et il y a convergence simple vers la fonction nulle (traiter à part les cas x=0,\;x>0).
Je ne vois pas de convergence uniforme là-dedans.

.............................
@coa347
Bien lu ton message de 07:40 !
Je suis un "incompris" (snif,snif) !
Pour moi, "trouvaille" et "astuce" sont plutôt des compliments !
Et ma remarque concernant le "pourquoi faire simple..." s'adressait à l'auteur de l'exercice. J'avais bien vu que tu avais donné une solution selon les vœux de cet auteur.
Mais tu devrais reconnaître que trouver une série entière pour éviter une étude des variations d'un polynôme si simple n'est pas la démarche normale d'un étudiant .

Posté par
coa347re : convergence uniforme ou pas 14-08-18 à 00:16

Bonsoir,

@luzak Pour moi, ce n'est ni une trouvaille ni une astuce, mais au contraire un exercice intéressant où on doit pouvoir démontrer que x^n(1-x) < 1/n, pour x appartenant à [0,1], sans passer par une étude de fonction.

D'ailleurs il doit y avoir un moyen plus simple pour le démontrer que de passer par un DSE. Peut-être en distinguant x inférieur à 1/n, x supérieur à 1-1/n et x compris entre les 2. Je verrais ça demain.

Posté par
coa347re : convergence uniforme ou pas 14-08-18 à 07:28

coa347 @ 14-08-2018 à 00:16

D'ailleurs il doit y avoir un moyen plus simple pour le démontrer que de passer par un DSE. Peut-être en distinguant x inférieur à 1/n, x supérieur à 1-1/n et x compris entre les 2. Je verrai ça demain.

Bonjour,

En effet, c'est évident pour 0\leq x<\dfrac{1}{n}, pour 1-\dfrac{1}{n} < x \leq 1, et pour x \in [\dfrac{1}{n}, 1-\dfrac{1}{n}], cela marche très bien par récurrence sur n. On a dans les 3 cas, x^n(1-x) \leq \dfrac{1}{n}.
C'est mieux que le DSE !

Posté par
carpediemre : convergence uniforme ou pas 14-08-18 à 11:50

dans tous les cas ça reste très proche de l'étude de fonction : encadrer la dite fonction sur différents intervalles (sans aller jusqu'au mécanique dérivée/signe/variation) ...

Posté par
Saigare : convergence uniforme ou pas 15-08-18 à 12:20

Bonjour à tous,

J'ai lu attentivement vos messages, comme l'a dit luzak je n'aurais pas pensé à aller chercher un DSE, et je pense qu'on attendait la réponse proposé par coa347 (bien que je n'y aurais pas pensé seul également.

Cela dit, je trouve cela bizarre quand même car comme le dit carpediem, on tourne quand même autour du pot, avec des considérations proche de l'étude de fonctions...

Merci, à tous !

Posté par
DOMOREAconvergence uniforme ou pas 15-08-18 à 16:26

bonjour à tous,
d'abords j'ai bien noté l'intervention de luzak , appuyée par coa347, pour ma défenxe, je dirais que le contre exemple de luzak que j'entends ne correspond pas ici au type de fonction de l'exercice, mais c'est ma faute, je me suis mal expliqué, dans le cas qui nous occupe, le maximum décroît, c'est ce que intuitivement je voyais.

je reprends donc avec l'idée de coa347 pour le \frac{1}{n}: mais une récurrence est inutile , de même que l'intervention de l'intervalle [\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}]
1. g_n est croissante sur [0,(\frac{n}{n+1})^{\alpha}] facile à démontrer sans dérivation.

or comme \alpha<1 on a  (\frac{n}{n+1})^{\alpha}>\frac{n}{n+1}>1-\frac{1}{n} donc  g_n est croissante sur [0, 1-\frac{1}{n}]

donc sur [0,1-\frac{1}{n}]  g_n(x)\le n^{\alpha}\times \frac{1}{n}\times(1-\frac{1}{n})^{\alpha}<\frac{1}{n^{1-\alpha}}

2. Sur [1-\frac{1}{n}]    g_n(x)<n^{\alpha}(1-x) fonction affine décroissante donc majorée par n^{\alpha}\times \frac{1}{n}=\frac{1}{n^{1-\alpha}} sur cet intervalle

Posté par
coa347re : convergence uniforme ou pas 15-08-18 à 22:04

DOMOREA @ 15-08-2018 à 16:26

1. g_n est croissante sur [0,(\frac{n}{n+1})^{\alpha}] facile à démontrer sans dérivation.

2. Sur [1-\frac{1}{n}]

Bonsoir,

1. Heu non, et d'ailleurs inutile pour la suite de ta démonstration

2. C'est quoi cet intervalle ?

Si ce n'est pas se rapprocher de l'étude de fonction, et ne pas découper les intervalles ...

Posté par
DOMOREAconvergence uniforme ou pas 16-08-18 à 09:14

bonjour,
@coa347
1. Oui en effet c'est g_n(x)<n/(1+n) directement, je me suis mélangé dans mes notes
2. errata c'est évidement [1-1/n;1]

ce n'est pas tout à fait une étude de fonction au sens classique et complet, mais comment faire pour comparer alors ?
j'ai bien vu ta méthode par DSE

Posté par
DOMOREAconvergence uniforme ou pas 16-08-18 à 10:38

bonjour,
Je vous propose une méthode très simple qui utilise la densité de \mathbb{Q}  dans \mathbb{R} et la continuité de g_n
en choisissant  x rationnel , dans [0,1] , x=\frac{p}{p+d} avec p\in\mathbb{N} ainsi que d
l'inégalité \frac{p^n}{(p+d)^n}\times (1-\frac{p}{p+d})\le \frac{1}{n}
est équivalente à np^nd\le(p+d)^n qui s'établit immédiatement avec la formule du binôme

Posté par
coa347re : convergence uniforme ou pas 18-08-18 à 20:41

Bonsoir,

Cela fait donc 4 démonstrations sans utiliser d'étude de fonctions ! Comme quoi, c'était faisable.


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