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Convergence uniforme suite et série de fonctions

Posté par
bouri 22-03-23 à 21:42

Bonsoir à tous,

J'ai vu la propriété suivante : si fn converge uniformément sur I alors (fn) converge uniformément vers 0 sur I

Mais je n'arrive pas à le démontrer...
J'ai essayé en utilisant que si   fn converge uniformément alors Rn (reste d'ordre n) converge uniformément vers 0
On a donc ||Rn|| converge vers 0


Pour tout x I, |fn(x) | kn  |fk(x) |

Si on avait | fn(x) |   |kn  fk(x) |
on aurait alors ||fn|| ||Rn-1|| et on pourrait conclure que  ||fn||  converge vers 0
Mais l'inégalité n'est pas toujours vraie...

Vous remerciant par avance
Bonne soirée

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Convergence uniforme suite et série de fonctions 23-03-23 à 00:13

Bonsoir

On a \Large\sum f_n converge uniformément sur I donc, \Large r_n=\displaystyle\sup_{x\in I}\left|\underbrace{\sum_{k\geqslant n}f_k(x)}_{R_n(x)}\right|\to0

et comme pour tout x\in I on a \Large f_n(x)= R_n(x)-R_{n+1}(x)

on voit que pour tout x\in I on a \Large|f_n(x)|\leqslant|R_n(x)|+|R_{n+1}(x)|\leqslant2r_n ... sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
bourire : Convergence uniforme suite et série de fonctions 23-03-23 à 21:46

Merci beaucoup pour cette réponse rapide et très claire !

Bonne soirée

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Convergence uniforme suite et série de fonctions 23-03-23 à 23:24

C'est un plaisir. Bonne soirée également


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