Niveau Licence Maths 1e ann

Convexité

Posté par
Peed 26-04-18 à 21:11

Bonjour, Je cherche à montrer que   $A=\left\{ (x,y)\in {{\mathbb{R}}^{2}}:x>0,y>0 \right\}$   est convexe.

Donc pour tout   $(x_0,y_0)$ et $(x_1,y_1)$ de $A$ ; pour tout $t\in [ 0,1]$ .

Je trouve que   $(x_1(1-t)+x_0t,y_1(1-t)+y_0t)$   n'appartient pas à $A$   car   $x_1(1-t)+x_0t\ge 0$   et   $y_1(1-t)+y_0t\ge 0$

c'est normal ?

Posté par re : Convexité 26-04-18 à 23:21

Bonjour Peed.

Peed @ 26-04-2018 à 21:11

Je trouve que $\blue (x_1(1-t)+x_0t,y_1(1-t)+y_0t)$ n'appartient pas à $\blue A$ car $\red (x_1(1-t)+x_0t)\ge 0$ et $\red (y_1(1-t)+y_0t)\ge 0$

ce que tu affirmes en rouge ne te permet de conclure ce que tu affirme en bleu.
En effet, ton affirmation en rouge est une nécessité de celle en bleu. Donc aucune conclusion n'est possible.

Illustration :
Je veux montrer que ET est un martien.
Je réussis à montrer que ET est un habitant du système solaire alors puis-je en conclure que ce n'est pas un martien ?
Non, bien sûr, car être un habitant du système solaire est une condition nécessaire d'être un martien. Je dois donc pousser mes investigations.
En revanche, il aurait suffit que je prouve que ET est un habitant du système de Dagobah* et là, j'aurai pu conclure que ET ne peut pas être un martien.

Revenons à nos moutons :
si et a et b sont deux réel strictement positif et $t \in [0;1]$ alors oui, $\gamma(t) = (1-t)a + tb \geq 0$ . Mais mieux encore :

- si $t = 0$ alors $\gamma(0) = a >0$

- si $t = 1$ alors $\gamma(1) = b >0$

- si $0<t<1$ alors $1-t >0 \text{ et } \gamma(t) >0$ de façon évidente.

Et là, tu peux conclure, en adaptant à ton problème, que A est convexe.
___________________________
_{(*) pour les initiés, Dagobah est une planète du secteur Sluis située dans la Bordure Extérieure. Vous noterez donc que la relation entre Star Wars et la topologie est assez étroite.}

Posté par re : Convexité 26-04-18 à 23:40

Bonjour jsvdb

Désolé c'est de ma faute, j'ai donné à t deux valeurs 0 et 1 en même temps hahaha, or ; ce n'est pas possible, voilà ce qui arrive quand on a un manque de sommeil.

je te remercie jsvdb

Posté par re : Convexité 27-04-18 à 00:28

salut

une remarque quand même !!!

soit a > 0 et b > 0

pour tout t de [0, 1] t et 1 - t ne peuvent être simultanément nuls

donc l'un des deux nombres ta et (1 - t)b est strictement positif

et évidemment ils sont positifs donc leur somme est strictement positive

Posté par re : Convexité 27-04-18 à 09:42

A est l'intersection de U := ₊* avec V := ₊* qui sont convexes

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