Bonjour
A mon avis  la réponse est oui.
Pour le démontrer je raisonnerai par l'absurde:
Soit x_1 un point intérieur au carré où on a le sup est atteint.
Tu peux appliquer ta définition avec un x_2 qui est dans le carré. Tu fait tendre vers
0 ou bien 1.  Tu vas arriver à la contradiction (en justifiant un peut le passage à la limite)

merci, oui en effet en prenant par ex (1/2,1/2) on voit que la définition n´est pas satisfaite.
par contre pour la limite, il faut que je  raisonne sur t ?
parcequ´on raisonnant sur t, je retrouve que les deux limites de l´inégalité se rejoignent, du coup c´est pas trés solide pour la suite.

je pense avoir trouvé avec le lemme suivant (intr veut dire interieur relatif )

Soit C un convexe de Rn, x ∈ intr(C) et y ∈ adh(C). Alors quel que soit λ ∈ (0,1),
λx + (1 − λ)y ∈ intr(C).

un carré est bien un convexe, donc en prenant x ∈ intr(C) et y ∈ adh(C), l´inégalité n´est pas stricte. Est-ce que ca a du sens?

Là je ne comprend pas ce que tu dis: en prenant par ex (1/2,1/2) peut tu expliquer.
En même temps j'ai dit des bêtises
, je réfléchis et je te dis quoi ds 5mn , je commence à fatiguer




donc on fait tendre t vers 1

moi aussi du coup

je voulais dire qu´en prenant x1=1/2 et x2=1/2
cette inégalité ne peut pas etre stricte
f(tx1 + (1 − t)x2)  < tf(x1) + (1 − t)f(x2)

Soit x_0 le max et n'importe  quel segment [x1, x_2] dans le carré tel que
x_0 \in ]x1;x2[  alors x_1 est de la forme t x_1+(1-t) x_2 , t n ]0,1[
donc
f(x_0)< t f(x1)+(1-t)f(x2)<t f(x_0)+(1-t) f(x_0)=f(x_0).
Attention l'inégalité est stricte si au moins f(x_1) et ou f(x_0) < f(x_0).
Un tel couple existe si f n'est pas constante . on a la contradiction...


  

Soit x_0 le max et n'importe  quel segment [x1, x_2] dans le carré tel que
x_0 \in ]x1;x2[  alors x_1 est de la forme
donc
f(x_0)< t f(x1)+(1-t)f(x2)<t f(x_0)+(1-t) f(x_0)=f(x_0).
Attention l'inégalité est stricte si au moins f(x_1)  ou f(x_2) < f(x_0).
Un tel couple existe si f n'est pas constante . on a la contradiction...

On se ramène à des strictement convexes sur un intervalle compact .

Je pose K := [-1 , +1]² et a := (-1,-1) .
Pour chaque t [0 , /2 ]   je pose u(t) = (cos(t),sin(t)) et J(t)  := { r |  a + ru(t) K }  .
J(t) est un intervalle fermé de la forme   [0  , R(t)u(t)] où R(t) est > 0  et  a + R(t)u(t) est un point du bord de K .

Soit maintenant f : K , continue et  strictement convexe .
Pour chaque t , r f(a + ry(t)) est aussi  continue et strictement convexe et donc  M(t)  :=  Sup{ f(a + ry(t)) |   r J(t) } = Max(f(a) , f(a + R(t)u(t) }  et même pour tout r ]0 , R(t) [ on a : f( f(a + ry(t)) < M(t).
Alors :
M := Sup(f) = Sup_t(M(t)) = Sup { f(x) | x bord(K) }  est donc un réel et pour tout x intérieur à K on a f(x)  < M  .
Comme  le bord de K est compact  et comme f est continue  M est atteint par f en un de ses points au moins .

Remarque s:  
..Il est inutile que f soit plus que " continue et  strictement convexe " .
..On peut remplacer K par un convexe compact quelconque de ² .

_{sauf erreur}

Il y a plus simple !
1.
Soient  K le compact [-1 , +1]² , F son  bord   (sa frontière)  et f : K strictement convexe  .

Soit (x,y)   à l'intérieur de K  .
        { z | (x, z) K } est l' intervalle [-1 , +1]  et z   f((x, z) est strictement convexe sur  [-1 , +1]  donc  f(x,y) < Max(f(x,-1) , f(x , 1))

      En considérant f(.,-1) : u f(u,-1) et f(.,+1) , qui sont strictement  convexes sur   [-1 , +1]   on obtient :  f(x,y)  < Max( f(-1,-1) ,f(-1,1) ,f(1,-1) , f(1,1) ) .

Si f atteint sa  borne supérieure ce ne peut être qu'en l'un au moins des 4 points (-1,-1) ,(-1,1) , (1,-1) , (1,1) qui sont dans F .

2.
Dans le cas général ( où K est simplement un convexe compact d'intérieur non vide)  on prend  (x,y)   à l'intérieur de K .
  { z | (x, z) K } est un intervalle compact d'intérieur non vide ( donc de la forme [a(x,y) , b(x,y)] où a(x,y) , et b(x,y) sont des réels vérifiant a(x,y) < y < b(x,y) .
De plus (x , a(x,y)) et  (x , b(x,y)) sont des éléments de F .

f étant strictement convexe  , f(x,.) : z f(x,z) l'est aussi sur  [a(x,y) , b(x,y)]  donc f(x,y) < Max(f(x , a(x,y)) , f (x , b(x,y))  .
Par suite Sup_K(f) = Sup_F(f) .
Si f atteint sa borne supérieure (ce qui est le cas si f est continue ) ce ne peut donc être qu'en un point (au moins )de F .

Merci à etniopal et jb2017, c´est plus clair maintenant!