Bonjour,

A priori, tu as deux solutions possibles.

Tu peux décrire le cercle par l'équation de son plan et l'équation de la sphère dont il est l'équateur. Si tu connais , tu obtiens une équation de degré 2 en , ou en .

Bonjour
une possibilité (qui revient grosso modo à ce que te dit GBZM)
en appelant G le centre de ton cercle et R son rayon : GD²=R² et dét( AB, AC, AD) = 0

Bonjour lafol,

Pas grosso modo, mais exactement : GM²=R² est l'équation de la sphère dont le cercle ABC est l'équateur, et det(AB,AC,AM)=0 est l'équation du plan de ce cercle.

Merci pour vos réponses.
Je me lance pour voir si je comprends bien.
Soit G le centre du cercle passant par A, B et C et R son rayon.
D est le point sur le cercle dont je connais uniquement la coordonnée zd.

L'Eq3 contient donc 2 inconnues xd et yd.



J'ai de nouveau une equation à 2 inconnues.

Je vais regarder si je parviens à résoudre le système d'équations qui à l'air pénible à calculer

bonjour,
Pourquoi écris-tu 3 équations 1,2,3 pour dire la même chose ?
idem pour 4 et 5

Selon la position "angulaire" du plan, tu pourras avoir deux solutions pour(xd,yd) ou une seule  ou une infinité.

la méthode ne me parait pas plus simple que:



Plan ABC  avec :

Sphère S(G,R) avec :  

je pense que ça revient rigoureusement au même tes coeffs alpha, beta et gamma seront pile poil ceux qui résultent du calcul du déterminant ( cf produit mixte)

Merci pour vos retours.
J'ai étudié les 2 solutions.
Ca aboutit à des calculs terribles.
Je ne pensais pas que ca serait si complexe de calculer des coordonnées  x et y!
Demain je me mets sur un logiciel de calcul formel et j'essaiera de trouver et partager la solution

Le chemin qu'on t'a indiqué (il n'y en a qu'un, en fait) partait de la connaissance du centre du cercle ABC et de son rayon. Mais le calcul de ce centre et de ce rayon ne sont pas indispensables.
Les quatre points sont sur un même cercle si et seulement s'il y a une infinité de sphères passant par ces quatre points. Ceci revient à dire que le système des quatre équations linéaires en les quatre inconnues   :

,

où , admet une infinité de solutions. Ceci se traduit par l'annulation de deux déterminants (le déterminant du système, et le déterminant bordant un mineur 3x3 non nul extrait des trois premières lignes, en supposant que ne sont pas alignés), ce qui donne une équation linéaire et une équation quadratique en . Si on connaît , tout bon système de calcul formel (par exemple SageMath) donnera les solutions .