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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Coordonnées barycentriques

Posté par
Bastien51
29-06-20 à 11:32

Bonjour,

J'ai un peu de mal avec les coordonnées barycentriques.
Soient M1 et M2 des points de coordonnées barycentriques respectives (x1,y1,z1) et (x2,y2,z2).

Pourquoi tout point sur la droite M1M2 a-t-il pour coordonnées barycentriques (t1x1 + t2x2, t1y1 + t2y2, t1z1 + t2z2) ? Avec t1 et t2 des réels

Je n'arrive pas à en trouver la démonstration

Posté par
carpediem
re : Coordonnées barycentriques 29-06-20 à 12:13

salut

parce que tout point d'une droite (AB) est barycentre des points A et B ...

Posté par
Bastien51
re : Coordonnées barycentriques 29-06-20 à 12:31

Bonjour,

Oui, je comprends pour les points qui sont des barycentres.
Mais je n'arrive pas à effectuer le calcul pour retrouver le résultat
Pourquoi n'aurait-on pas par exemple (t1+x1 +t2+y2,..., )? D'où viennent les produits ?

Posté par
carpediem
re : Coordonnées barycentriques 29-06-20 à 12:38

que signifie (x, y, z) sont les coordonnées barycentriques de M ?

Posté par
Bastien51
re : Coordonnées barycentriques 29-06-20 à 13:05

Que x,y,z sont les poids des sommes d'un triangle de référence.
Ainsi M est le barycentre de ces sommets pondérés.

Posté par
carpediem
re : Coordonnées barycentriques 29-06-20 à 13:48

à traduire par une relation vectorielle ...

Posté par
Bastien51
re : Coordonnées barycentriques 29-06-20 à 14:16

Soit donc le triangle de référence (A,B,C)

Alors si M est barycentre des trois sommets affectés des masses x,y,z on a que
xMA+yMB+zMC=0

J'ai essayé d'utiliser cette relation vectorielle avec les points M1 et M2 définis plus haut en multipliant respectivement par t1 et t2 :
t1x1M1A+t1y1M1B+t1z1M1C=0
t2x2M2A+t2y2M2B+t2z2M2C=0

Puis je pense qu'en additionnant les équations et en introduisant un point M comme étant le barycentre de [(M1,t1), (M2,t2)] avec la relation de Chasles cela devrait marcher...

Posté par
flight
re : Coordonnées barycentriques 29-06-20 à 14:44

salut

tu n'aurait pas des denominateurs avec du "t1+t2 " dans tes coordonnées fournies dans l'enoncé ?

Posté par
carpediem
re : Coordonnées barycentriques 29-06-20 à 14:47

je partirai plutôt de : soit tM1M + uM2M = 0 (donc M est le barycentre de (M1, t) et (M2, u)) et j'essayerai d'arriver à ton résultat ...

Posté par
flight
re : Coordonnées barycentriques 29-06-20 à 14:53

je tente une réponse ..sans certitude  ....

on a le point M1 et son coefficient  de pondération  t1
                             M2 et son coefficient  de pondération  t2
                            et G (t1+t2) le barycentre de M1,t1 et M2,t2 :
alors  avec t1+t20   ,  on peut ecrire que   :

(t1+t2).G = t1.M1  +  t2.M2    et en passant par l'origine  :

(t1+t2).OG = t1.OM1  +  t2.OM2    puis scalairement :

(t1+t2)Xg = (t1.x1 + t2.x2)
(t1+t2)Yg = (t1.y1 + t2.y2)
(t1+t2)Zg = (t1.z1 + t2.z2)

ça correspondrait à ce que tu souhaite ?

Posté par
Bastien51
re : Coordonnées barycentriques 30-06-20 à 19:05

Merci pour vos réponses !

flight, je n'ai pas de dénominateurs dans mon énoncé mais je pense que c'est juste que mes coordonnées ne sont pas normalisées
Je n'avais jamais vu la notation "(t1+t2).G = t1.M1  +  t2.M2", produit de scalaire et de point.

carpediem, j'ai aussi réussi en partant de ce que tu m'as donné merci

Posté par
carpediem
re : Coordonnées barycentriques 30-06-20 à 19:27

oui c'est essentiellement la propriété d'associativité du barycentre qu'on développe ici ...

de rien



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