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Coordonnées d'un centre de gravité

Posté par
TheFrood
28-11-13 à 18:38

Bonjour à tous et à toutes , je souhaiterai bénéficier d'une aide concernant un Devoir Maison à rendre d'ici peu et je n'ai pas compris l'exercice ni la méthode pour réussir.

Voici mon énoncé tel quel:
"Le plan est muni d'un repère (O,i,j),
On considère les points A(A;3) , B(6;4) , C(-1;-1)
Le but de l'exercice est de calculer les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC

A/ Première méthode: Avec les équations de deux médianes:
1° Calculer les coordonnées des milieux respectifs I et J des segments [BC] et [AC].
2° En déduire des équations cartésiennes des médianes issues de A et de B du triangle ABC.
3° Calculer les coordonnées du centre de gravité G du triangle ABC.

B/Deuxième méthode: Avec des égalités vectorielles:
1° Exprimer le vecteur AG en fonction du vecteur AI où I est le milieu du segment [BC].
2° En déduire une expression du vecteur AG en fonction des vecteurs AB et AC.
3° Utiliser cette égalité pour calculer les coordonnées du point G.

PS: Il faut faire les deux méthodes et ne sachant pas mettre le signe "vecteur" , les vecteurs sont ici représenté en italique et souligné.
Merci de votre aide.
Cordialement TheFrood

Posté par
TheFrood
re : Coordonnées d'un centre de gravité 28-11-13 à 19:13

Voila ma première réponse, merci de me dire cela est juste.

A/ 1° On sait que I est le milieu de [BC] donc 1/2 du vecteur BC=BI.
Pour obtenir les coordonnées du point I, on part de B et on fait 1/2BC.
Donc BC(XC-XB;YC-YB)
(-1-6 ; -1-4) ( -7;-4)
Alors 1/2BC 1/2*(-7;-4)(-3,5;-2,5)
Donc I(-3,5+6 ; -2,5+4)(2,5;1,5)

Si cela est bon je fais la même chose pour calculer Y.

Posté par
Priam
re : Coordonnées d'un centre de gravité 28-11-13 à 19:34

C'est juste.

Posté par
TheFrood
re : Coordonnées d'un centre de gravité 30-11-13 à 09:41

Je récapitule:

A/1° AC(XC-XA;YB-YA)(-1-1;-1-3)(-2;-4)

On sait que J est le milieu de [AC] donc AJ=1/2 AC
AJ1/2*(-2;-4)(-1;-2)

J (XA+XAJ;YA+YAJ(1-1;3-2)(0;1)

On fait alors la même chose pour le point I:
BC(XC-XB;YC-YB)(-1-6;-1-4)(-7;-5)

On sait que I est le milieu de [BC] donc BI=1/2 BC.
BI 1/2(-7;-5)(-3,5;-2,5)

I (XB+XBI;YB;YBI) (6-3,5;4-2,5)(2,5;1,5)

BJ(XJ-XB;YJ-YB)(-6;1-4)(-6;-3).

On sait que G [BJ] car c'est le centre de gravité du triangle ABC et que [BJ] et la médiane partant de B.G(x;y)

BG(XG-XB;YG-YB)(x-6;y-4)

xy'-x'y= -6*(x-6)-(-3*(y-4))= -6x+36+3y-12=-6x+3y=24

AI(XI-XA;YI-YA)(2,5-1;1,5-3)(1,5:-1,5)

On sait que G [AI] G(x;y)

AG (XG-XA;YG-YA)(x-1;y-3)

xy'-x'y= 1,5*(x-1)-(-1,5*(y-3))=1,5x-1,5+1,5y-4,5=1,5x+1,5y-6

3° On sait que G est le centre de gravité du triangle ABC donc AG=2/3AI

AG 2/3(1,5;-1,5)(1;-1)

G(XA+XAB;YA+YAB))(1+1;3-1)(2;2)

On verifie avec une autre égalité:

BG=2/3 BJ
BG 2/3(-6;-3)(-4;-2)

G(XB+XBG;YB+YBG)(6-4;4-2)(2;2)

B/1° AG=2/3 AI

Voila la trace de mes recherches.
Merci de me corriger si erreur et de m'aider pour les deux dernieres question car je suis totalement bloqué et je ne comprend pas.
Cordialement TheFrood.

Posté par
Priam
re : Coordonnées d'un centre de gravité 30-11-13 à 12:32

A/ Tes calculs sont exacts, mais ils me paraissent un peu compliqués et embrouillés.
Par exemple, j'ai du mal à dénicher les équations cartésiennes des médianes, demandées au 2°.
Il me semble que tu aurais pu faire plus simple en procédant comme suit :
1° Coordonnées des points I et J.
Les coordonnées du milieu d'un segment MP sont les moyennes arithmétiques de celles des point M et P.
2° Equations cartésiennes des médianes AI et BJ.
Partir de l'équation générale d'une droite  y = mx + p  et écrire, pour la première médiane, que la droite passe par les points A et I.
3° Calculer les coordonnées du point d'intersection des deux droites dont les équations ont été déterminées au 2°.
B/ 1° Pour exprimer le vecteur AI en fonction des vecteurs AB et AC, tu peux décomposer le vecteur AI, selon la règle de Chasles, en passant par le point B, puis par le point C, et additionner les deux égalités ainsi obtenues.

Posté par
TheFrood
re : Coordonnées d'un centre de gravité 30-11-13 à 13:11

C'est vrai que c'est exact cependant en veirifiant mes calculs j'ai trouver une erreur car au lieu de faire xy'-x'y j'ai fait xx' yy'.

Posté par
Ced45
re : Coordonnées d'un centre de gravité 01-12-13 à 13:30

Je suis dans la même classe que TheFrood et je n'arrive vraiment à la question 2 de la partie B. Pouvez-vous m'aider ?



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