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Coordonnees du point de contact de la tangente a une ellipse
Bonjour,
Je dois pour un exercice trouver les coordonnées du point de contact d'une droite de pente -1 avec une ellipse
Comme definition de l'ellipse j'ai:
ax²+by²-c=0
Avec les definitions:
a= demi grd axe
b= demi pt axe
c= distance de l'intersection a et b jusqu'au foyer
c= racine carree de a²-b²
La différentielle totale est :
2 a x dx + 2 b y dy = 0
Derivees sur y(x) et x(y) :
y'(x) = dy/dx = -(a x)/(b y)
x'(y) = dy/dx = -(b x)/(a y)
J'ai suite au indications que j'avais cherche a égaler les dérivée a -1
mais cela ne me mène a rien.
Je ne sais pas le faire
1) y'(x) = dy/dx = -(a x)/(b y)=-1
2) x'(y) = dy/dx = -(b x)/(a y)=-1
Dans 1)
- (a x)/(b y) +1 = 0 // 1) égalé à zéro pour trouver x et le repasser dans 2
3) x = (-1 * by)/a
Dans 2)
-(b y)/(a x) + 1 = 0
- (b y) = -1 * (a x)
y = (1 * (a x)) / b = (a x)/ b
3) dans 2)
y= (a * (-1 * by)/a) / b
y = -y
C'est pas ca du tout.
Est-ce que quelqu'un peut me montrer comment faire pour sortir de cette impasse?
Bonjour.
Essaie de chercher l'intersection de l'ellipse avec une droite du type y = - x + p.
Cherche p pour que la solution soit double.
le plus simple est de paramétrer en x=a*cos(t) et y=b*sin(t) avec t de -pi à pi
et la pente est y'/x' (quand x' n'est pas nul)
ce qui donne -b/(a*tan(t))
au final on obtient t=arctan(b/a) ou arctan(b/a)+pi
ce qui donne le point concerné.
Une autre méthode consiste à chercher l'intersection d'une droite de pente (-1) avec l'ellipse (cela donne une équation du second degré) et de dire qu'on doit être dans un cas où il n'y a qu'une solution.
J'essaie de le faire naivement en prenant les premières formules et
a= demi grd axe
b= demi pt axe
t = -45 degré
Je ne trouve pas cela quand je fais l'épure sur un programme graphique avec
a= 15
b= 10
t = -45 degré
x=a*cos(t) et y=b*sin(t) avec t de -pi à pi
x= 15 * cos(-45) = 10,6
y = 10 sin(-45) = 7.07
Ce n'est pas juste bien sur
Pourriez-vous être un peu plus explicite sur les valeurs ou les formules?
Merci d'avance
Reprend mon message :
y = - x + p
Remplace y par - x + p, cherche le discriminant et exprime qu'il est nul.
Sauf erreur, on trouve : p = 
J'essaie
y = - x + p
3$\fra{x^2}{a^2}+\fra{y^2}{b^2}-1 = 0
Remplace y par - x + p, cherche le discriminant et exprime qu'il est nul.
Sauf erreur, on trouve : p =
b²x² + a²y² -1 = 0
avec y = - x + p
b²x² + a²(-x + p)² - 1 = 0
b²x² + a²(x² - 2px + p²) - 1 = 0
b²x² + a²(x² - 2 x + (a² + b²)) - 1 = 0
b²x² + a²x² - 2a² x + a²(a² + b²)) - 1 = 0
Est-ce bien ce que je dois faire?
Tu ne dois pas utiliser ma réponse (avec +/- devant que tu as oublié) pour faire l'exercice.
Tu as oublié que c'est 1/a² et 1/b².
(re) bonjour,
oui, il y a plusieurs méthodes...
méthode 1 : avec les paramétriques (voir le message du 29 à 12:06) mais je ne vois pas d'où sort ce "-45°"... la pente de la tangente est -b/(a*tan(t))... et j'ai donné les valeurs de t solutions dans mon message... et en remplaçant dans le paramètrage, on obtient comme point de contact et son symétrique par rapport à O.
méthode 2, celle que Raymond indique, très bien aussi... on travaille en cartésienne en cherchant l'intersection de l'ellipse avec la droite de pente (-1) : y=-x+p... et en traduisant que l'équation du second degré obtenue a un discriminant nul... on trouve bien la valeur de p donnée le 29 à 14:52 (ou son opposé) et en remplaçant dans l'équation du second degré, on trouve une solution double qui est et y=-x+p=
(ou les opposés dans le cas où p=-
...)
méthode 3
on établit déjà (avec le paramètrage par exemple) que la tangente à l'ellipse au point (x0;y0) est :
avec bien sûr
une pente égale à (-1) se traduit par
ce qui en remplaçant dans l'équation de l'ellipse, donne la valeur x0... puis y0 en reportant.
Voilà... cela laisse le choix !
MM
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