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Niveau Licence Maths 1e ann
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Coordonnées intrinsèques

Posté par
rienkapte
06-04-20 à 18:38

Exercice 5 : sur une hélice
On donne les équations paramétriques du mouvement d'une particule dans l'espace :  
𝑥 = 𝑎cos(𝜔𝑡) 𝑦 = 𝑎sin(𝜔𝑡) 𝑧 = 𝑏𝑡

où 𝑎,𝑏 et 𝜔 sont des constantes positives.
1. Interpréter physiquement les constantes 𝑎 et 𝜔.
2. Quelle est la nature de la trajectoire ?
3. Calculer les composantes de 𝑣 ⃗ dans la base (𝚤 ⃗,𝚥 ⃗,𝑘 ⃗). Calculer la norme de la vitesse.
4. Montrer que 𝑣 ⃗ fait un angle constant avec l'axe (𝑂𝑧).
5. Déterminer l'expression 𝑎 ⃗ dans la base (𝚤 ⃗,𝚥 ⃗,𝑘 ⃗), puis après avoir défini le vecteur normal 𝑁 ⃗ de la base de Frenet, donner l'expression de 𝑎 ⃗ dans cette base.
6. En déduire l'expression du rayon de courbure de la trajectoire.


Bonjour, pouvez vous me dire si ce que j'ai dit est juste sur les questions 1,2 et 4 particulièrement. J'ai pas expliquer mathématiquement les choses ou je les ai peut être pas bien comprises. J'ai pas compris ce que voulait dire "interpréter physiquement"Je pense avoir juste sur les autres mais si vous pouvez vérifier aussi ça serait super.  

Merci d'avance

Mes réponses :

1)wt est un angle car cos(wt)
t est un temps donc w est un angle.temps^-1.
a est une longueur car cos(wt) est un quotient de deux longueur (cos x = adj/hyp) donc sans unité et x est une longueur. Donc longueur = longueur.

2) C'est une trajectoire en spirale montante. ( Circulaire uniforme sur x,y et montante sur z )

3)\vec{v}=\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -a\omega sin(\omega t)\\ a\omega cos(\omega t)\\ b \end{pmatrix}


et  \left|\vec{v} \right|= \sqrt{ (a\omega cos(\omega t))^{2}+(- a\omega cos(\omega t))^{2}+b^{2}} =\sqrt{a^{2}\omega ^{2}+b^{2}}

4) \vec{v}\bullet \vec{k}=\left|v \right|.\left|k \right|.cos(\vec{v},\vec{k})
b=1.\sqrt{a^{2}\omega ^{2}+b^{2}}.cos(\vec{v},\vec{k})
(\vec{v},\vec{k})=arcos( \frac{b}{\sqrt{a^{2}\omega ^{2}+b^{2}}})= constant



5)  \vec{N}=\begin{pmatrix} -cos(\omega t)\\ - sin(\omega t)\\ 0 \end{pmatrix} et \vec{T}=\begin{pmatrix} -sin(\omega t)\\ cos(\omega t)\\ 0 \end{pmatrix}

\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\begin{pmatrix} (-a\omega sin(\omega t))' \\ (a\omega cos(\omega t))'\\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -a\omega ^{2}cos(\omega t)\\ -a\omega ^{2}sin(\omega t)\\ 0 \end{pmatrix}= a\omega^{2}\vec{N}

6) \vec{a}=\dot{v}\vec{T}+\frac{v^{2}}{R_{c}}\vec{N}
a\omega ^{2}\vec{N}=\frac{v^{2}}{R_{c}}\vec{N}
R_{c}=\frac{v^{2}}{a\omega ^2}=\frac{a\omega ^{2}+b^{2}}{a\omega ^{2}}
R_{c}=1+b^{2}

Posté par
XZ19
re : Coordonnées intrinsèques 06-04-20 à 18:45

Bonjour
pour  le 1)  w  est une vitesse angulaire et pour "a" ta réponse n'est pas précise.  
La trajectoire est inscrite dans un cylindre. A ton avis que représente  a pour ce cylindre?  

Posté par
XZ19
re : Coordonnées intrinsèques 06-04-20 à 18:53

J'ai regardé tes résultats.  Le vecteur tangent T est surement faux.  En effet  la trajectoire n'est pas planaire.
Bizarrement N  semble correct.

Posté par
rienkapte
re : Coordonnées intrinsèques 06-04-20 à 18:54

XZ19 @ 06-04-2020 à 18:45

Bonjour
pour  le 1)  w  est une vitesse angulaire et pour "a" ta réponse n'est pas précise.  
La trajectoire est inscrite dans un cylindre. A ton avis que représente  a pour ce cylindre?  

a c'est le rayon de ce cylindre ? Okay, il faut dire ce que c'est quoi quand on nous demande d'interpréter physiquement des constantes

Posté par
XZ19
re : Coordonnées intrinsèques 06-04-20 à 18:58

De même  <v,k>=b   d'où vient ton arccos(...)?  

Posté par
rienkapte
re : Coordonnées intrinsèques 06-04-20 à 19:08

XZ19 @ 06-04-2020 à 18:58

De même  <v,k>=b   d'où vient ton arccos(...)?  


Dans la 4 ?

arccos vient de cos <v,k>= b/\sqrt{a^{2}\omega ^{2}+b^{2}}

Posté par
XZ19
re : Coordonnées intrinsèques 06-04-20 à 19:26

Et bien a  c'est le rayon du cylindre. w c''est la vitesse angulaire.
C'est à dire que tu projettes ton point M(t) sur le plan xoy  et si on désigne par m(t)
ce projeté m(t)  la trajectoire de m(t)  est un cercle de rayon a  et m(t)  "tourne"  à vitesse angualaire constante w.
La trajectoire de M(t)  est une hélice circulaire à pas constant.

Le vecteur T  est proportionnel à v(t)  donc la troisième composante de T est non nulle.


Ensuite  k=(0,0,1)  alors  (v,k)= b  un point c'est tout.      

Posté par
XZ19
re : Coordonnées intrinsèques 06-04-20 à 19:29

De même tu devrais te rendre compte que ton rayon de courbure ne dépend pas de a, et ça c'est pas très  normal  d'un point de vue  physique.



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