Exercice 5 : sur une hélice
On donne les équations paramétriques du mouvement d'une particule dans l'espace :
𝑥 = 𝑎cos(𝜔𝑡) 𝑦 = 𝑎sin(𝜔𝑡) 𝑧 = 𝑏𝑡
où 𝑎,𝑏 et 𝜔 sont des constantes positives.
1. Interpréter physiquement les constantes 𝑎 et 𝜔.
2. Quelle est la nature de la trajectoire ?
3. Calculer les composantes de 𝑣 ⃗ dans la base (𝚤 ⃗,𝚥 ⃗,𝑘 ⃗). Calculer la norme de la vitesse.
4. Montrer que 𝑣 ⃗ fait un angle constant avec l'axe (𝑂𝑧).
5. Déterminer l'expression 𝑎 ⃗ dans la base (𝚤 ⃗,𝚥 ⃗,𝑘 ⃗), puis après avoir défini le vecteur normal 𝑁 ⃗ de la base de Frenet, donner l'expression de 𝑎 ⃗ dans cette base.
6. En déduire l'expression du rayon de courbure de la trajectoire.
Bonjour, pouvez vous me dire si ce que j'ai dit est juste sur les questions 1,2 et 4 particulièrement. J'ai pas expliquer mathématiquement les choses ou je les ai peut être pas bien comprises. J'ai pas compris ce que voulait dire "interpréter physiquement"Je pense avoir juste sur les autres mais si vous pouvez vérifier aussi ça serait super.
Merci d'avance
Mes réponses :
1)wt est un angle car cos(wt)
t est un temps donc w est un angle.temps^-1.
a est une longueur car cos(wt) est un quotient de deux longueur (cos x = adj/hyp) donc sans unité et x est une longueur. Donc longueur = longueur.
2) C'est une trajectoire en spirale montante. ( Circulaire uniforme sur x,y et montante sur z )
3)
et
4)
5)
6)
Bonjour
pour le 1) w est une vitesse angulaire et pour "a" ta réponse n'est pas précise.
La trajectoire est inscrite dans un cylindre. A ton avis que représente a pour ce cylindre?
J'ai regardé tes résultats. Le vecteur tangent T est surement faux. En effet la trajectoire n'est pas planaire.
Bizarrement N semble correct.
Et bien a c'est le rayon du cylindre. w c''est la vitesse angulaire.
C'est à dire que tu projettes ton point M(t) sur le plan xoy et si on désigne par m(t)
ce projeté m(t) la trajectoire de m(t) est un cercle de rayon a et m(t) "tourne" à vitesse angualaire constante w.
La trajectoire de M(t) est une hélice circulaire à pas constant.
Le vecteur T est proportionnel à v(t) donc la troisième composante de T est non nulle.
Ensuite k=(0,0,1) alors (v,k)= b un point c'est tout.
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