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Corollaire du T.V.I

Posté par
Nijiro
19-11-20 à 14:40

Bonjour,
-----
On considère la fonction f définie sur par : f(x)=\frac{1-x}{1+x^4}.
Montrer que l'équation f(x)=x admet une solution unique et que 0<<1.
-----

J'ai considéré la fonction g définie sur par : g(x)=f(x)-x
Donc g(x)=\frac{1-2x-x^5}{1+x^4}.

Sur ]-; 0[, g(x)>0 (-2x>0 et -x5>0 donc 1-2x-x5>0)
Sur ]1;+[, g(x)<0  ( x>1 donc: -x5<-1 et -2x<-2 alors: -x5-2x+1<-2)
g change donc de signe dans l'intervalle [0;1].

g est continue sur , en particulier sur [0;1] comme elle est une fonction rationnelle, g(0).g(1)<0 mais je dois montrer qu'elle est strictement monotone sur [0;1] pour que l'équation g(x)=0 ait une solution unique.

g'(x)=\frac{-x^8+x^4-4x^3-2}{(1+x^4)^2}
-1\leq -x^8\leq 0 \text{ et } 0\leq x^4\leq 1 \text { et } -4\leq -4x^3\leq 0\\ \text{donc }-7\leq -x^8+x^4-4x^3-2 \leq -1 \\ \text{c-à-d }-x^8+x^4-4x^3-2<0 \text{ d'ailleurs } (1+x^4)^2>0\\ \text{donc } g'(x)<0
alors g est strictement décroissante sur [0;1].

D'après T.V.I, l'équation g(x)=0 admet une solution unique sur]0;1[ et donc sur puisque g change de signe uniquement sur ]0;1[.  Alors:
g()=0f()-=0f()= avec 0<<1

Mais je m'en doute ..C'est correct comme cela ou faut-il  le résoudre autrement??
Merci d'avance.

Posté par
Yzz
re : Corollaire du T.V.I 19-11-20 à 14:52

Salut,

Tout cela me semble tout à fait correct.

Posté par
Nijiro
re : Corollaire du T.V.I 19-11-20 à 17:07

Merci Yzz! ^^

Posté par
Yzz
re : Corollaire du T.V.I 19-11-20 à 20:12

De rien    

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