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corps algebriquement clos

Posté par
zakacm
20-10-18 à 15:52

salut a tous !
je suis bloque a cette question sur les structures :
le corps des fractions (t) est il algebriquement clos ?

Posté par
Camélia Correcteur
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 15:55

Bonjour

Pour quelle métrique?

Posté par
zakacm
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 16:06

Bonjour Camélia
dans mon cours de l'algebre generale il parle seulement sur la definition d'un corps algebriquement clos et toute autre chose est hors notre programme

Posté par
jsvdb
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 16:14

bonjour zakacm
Peut-on avoir une définition de ce que tu appelle \C(t) ?

Posté par
zakacm
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 16:16

Bonjour jsvdb
(t) est le corps des fractions rationnelles a coeffients dans

Posté par
Camélia Correcteur
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 16:18

En effet ma question était stupide. J'avoue ne pas trop me rappeler ce qui se passe.
>jsvdb La clôture n'est-ce pas les séries de Laurent? Réminiscence...

Posté par
jsvdb
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 16:38

Bonjour Camélia.
Je crois que oui ! Ça a un rapport, à ceci près que les séries de Laurent ne sont pas nécessairement finies quant au nombre de terme dans la somme.

Posté par
Camélia Correcteur
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 16:40

Les séries de Laurent sont finies du côté négatif et infinies du côté positif. Mais franchement je n'y suis plus du tout!

Posté par
jsvdb
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 16:42

Par ailleurs, si ma mémoire est bonne, un corps K est algébriquement clos si tout polynôme à coefficient dans K admet une racine.

Ici, K = \C(t).

Il faut donc se demander si, en prenant un polynôme dont les coefficients sont dans \C(t), on peut trouver un racine à ce polynôme.

Posté par
jsvdb
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 16:46

Il y a des histoires de singularités essentielles si la série de Laurent est infinie du coté négatif. Mais je ne crois pas qu'on ait besoin de ça ici.

Posté par
jsvdb
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 16:48

On peut faire un exemple :

Est-ce que l'on peut trouver une racine à \mathfrac P(X) = \dfrac{z^2+z+1}{z^3+8}X^2+\dfrac{z^5}{z+1}X + \dfrac{3z+1}{2z-2}

Posté par
Camélia Correcteur
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 16:50

Comme on est dans \C je dirais que oui? Après tout peut-être qu'il est complet!

Posté par
Camélia Correcteur
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 16:51

Là je dois partir, désolée d'abandonner le champ de bataille…

Posté par
jsvdb
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 16:52

Mais la complétude est plutôt liée à une métrique. A priori, ce n'est pas demandé.

Posté par
jsvdb
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 17:27

Contre-exemple : P(X) = X^2+zX+1 n'est pas factorisable.

On fait comme pour les équations du second degré classique :

P(X) = X^2 + zX + \frac{z^2}{4}-\frac{z^2}{4}+1 = (X+\frac{z}{2})^2+(1-\frac{z^2}{4})

Et 1 - \frac{z^2}{4} n'a pas de racine dans \C(X).

\C(X) n'est donc pas algébriquement clos.

Posté par
jsvdb
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 17:34

Évidemment, l'étude de K(X) = X^2 - z était nettement plus simple comme contre-exemple.

Posté par
carpediem
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 17:37

salut

je ne comprends pas trop ...

1 - z^2/4 est une constante et dans C(x) il y a C ...

Posté par
jsvdb
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 17:47

Salut carpi.

Non, attention, il s'agit de polynômes à coefficient dans \C(X) . Donc 1 - z^2/4 désigne la fraction rationnelle z\mapsto 1-\frac{z^2}{4}

Posté par
zakacm
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 18:00

jsvdbjsvdb merci pour tes benifiques reponses
je pense que c'est ca la reponse , specialement le deuxieme contre exemple qui parait simple a comprendre
je te remercie pour ton aide !

Posté par
jsvdb
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 18:02

Je t'en prie

Posté par
carpediem
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 18:15

je ne comprends toujours pas ... ou alors l'énoncé est mat posé !!

on regarde donc C(x) [t] ou C(x) (t) ....

Posté par
jsvdb
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 18:53

jsvdb @ 20-10-2018 à 16:14

Peut-on avoir une définition de ce que tu appelle \C(t) ?

zakacm @ 20-10-2018 à 16:16

(t) est le corps des fractions rationnelles a coeffients dans

Donc si on veut montrer qu'il est algébriquement clos, il faut montrer que tout polynôme à coefficients dans \C(z) (donc tout élément de \C(z)[X] ) est scindé... enfin ! je crois ...
J'ai dû m'emberlificoter dans mes notations ...

Posté par
carpediem
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 18:56

ouais parce que pour moi par définition C(t) est le corps des fractions rationnelles en l'indéterminée t et à coefficients dans C ... epictou

donc le quotient de deux polynomes en t ...

Posté par
luzak
re : corps algebriquement clos 20-10-18 à 23:14

Bonsoir carpediem.
Les coefficients sont dans \C(t).
Le polynôme X^2-t est à coefficients dans le corps \C(t)  : le coefficient de X^2 est 1, le coefficient de X^0 est -t.
Mais il n'a pas de racine dans ce corps ! Connais-tu une fraction rationnelle à coefficients complexes dont le carré est la fraction rationnelle t ?

Posté par
carpediem
re : corps algebriquement clos 21-10-18 à 08:38

merci luzak : c'est bien ce que je disais à 18h15 : on travaille dans C(t) (x) ou C(t) [x] : les polynomes en l'indéterminée x à coefficients dans le corps des fractions rationnelles en l'indéterminée t

non je ne l'ai jamais croisé ... éventuellement un "DSE" ...

Posté par
Poncargues
re : corps algebriquement clos 21-10-18 à 11:29

\mathb{C}(t) est trivialement non algébriquement clos T^2-t n'a pas de racine dedans.

Posté par
Poncargues
re : corps algebriquement clos 21-10-18 à 11:30

Oups, je n'avais pas lu la discussion jusqu'a bout, ma réponse est redondante, désolé.



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