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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Corps de décomposition, extensions

Posté par
raisinsec
08-05-21 à 10:04

Salut,

Si on se donne un polynôme f=x^7-y^5 \in \mathbb C [x,y]. On note K=\mathbb C (y) et K \subset L le corps de décomposition de f sur K. On se donne aussi une racine \alpha de f sur L, et on définit \beta=\frac{\alpha^{3}}{y^2}.

Maintenant je veux montrer que [K(\beta),K]=7.
On a que y^2\beta - \alpha^{3}=0, et j'essaye d'écrire \alpha en fonction de y mais j'ai du mal.
Comme f=\prod_{i=1}^{n}(x-a_{i}), a_{i} \in L on peut dire que L=K(a_1,...,a_n) non ? On peut s'en servir ?

Posté par
carpediem
re : Corps de décomposition, extensions 08-05-21 à 11:25

salut

cet énoncé est un peu du charabia ... tel qu'il est écrit ...

f(x, y) = x^7 - y^5 est un polynome de \C [x, y] = \C [y] [x] \subset \C (y) [x]

si a est une racine de f vu comme élément (polynome) de \C (y) [x] alors f(a) = 0 \iff a^7 = y^5

si maintenant b = \dfrac {a^3} {y^2} alors pour répondre à ta question il suffit de trouver un polynome de degré 7 de \C (y) [x] tel que P(b) = 0

or a^7 = y^5 \iff \dfrac {a^7} {y^5} = 1 \iff \dfrac a y b^2 = 1 \Longrightarrow \dfrac {a^3}{y^3}b^6 = 1 \iff b^7 = y

...

Posté par
raisinsec
re : Corps de décomposition, extensions 08-05-21 à 11:53

Merci pour ta réponse.

Ah bon ? Autant pour moi, mais visiblement tu as compris l'énoncé, effectivement c'est plus clair comme tu l'as écrit, et ça permet de mieux comprendre ce qu'il se passe.

Encore merci, je n'avais pas accordé assez d'importance au fait que le polynôme s'annule et donc en tirer une expression utile.

Posté par
carpediem
re : Corps de décomposition, extensions 08-05-21 à 12:33

enfin je suppose que c'est ce que j'ai dit ...



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