Salut,
Pour un exo je dois montrer que l'ensemble des séries de Laurent est le corps de fractions des séries formelles à coefficients dans . J'ai déjà montré que c'était un corps en exhibant un inverse.
Pour ça je veux entre autres montrer que si , alors (b inversible)
Si je prends avec (sinon on prend le minimum), j'ai que
car j'ai montré que c'est un corps et j'ai trouvé un inverse de cette forme (la somme avec les cq est l'inverse de la somme avec les ai+n qui existe car an est non nul)
Si n est positif c'est bon. Si n est négatif j'ai qui n'est pas de la bonne forme, et je mets t-n au dénominateur, le dénominateur ne sera pas inversible car le coefficient devant t0 sera nul.
Quelqu'un peu m'aider ?
Bonjour
Je ne vois pas trop où est ton problème.
Tu prends avec .
Je crois que tu as démontré que est inversible pour .
Mais et sont dans l'anneau pour tout et ils sont inverses l'un de l'autre.
Le produit de deux inversibles étant inversible...
Merci pour ta réponse
Je pense pas que soit dans
puisque est l'anneau des séries formelles que j'ai vu, je crois pas qu'on puisse avoir des puissances négatives de .
Tu as parlé des séries de Laurent! Elles ont des termes en avec en nombre fini. D'ailleurs tu as écrit à ta première ligne une définition correcte!
Oui mais je souhaite montrer qu'un série de Laurent peut 's'écrire comme un quotient de 2 séries formelles dont celle au dénominateur est inversible.
Je fais la différence entre (séries formelles) et
Je ne crois pas que tu puisses y arriver! pour n'est pas inversible dans les séries formelles, qui ne forment pas un corps! Les séries de Laurent c'est justement le plus petit corps qui contient l'anneau des séries formelles!
Justement, le corps de fractions est le plus petit corps contenant l'anneau, donc ça doit être possible.
Bonjour raisinsec,
Soit un anneau commutatif intègre. Le corps des fractions de est l'ensemble des fractions où sont des éléments de et est non nul (modulo la relation d'équivalence que je ne rappelle pas). L'élément est inversible dans le corps de fractions, mais il n'y a aucune raison qu'il soit inversible dans .
Est-ce qu'il te viendrait à l'idée de vouloir écrire un nombre rationnel sous la forme avec entier et entier inversible dans , c.-à-d. ??
Bien sûr que non ! Tout ce qu'on demande à , c'est d'être non nul.
Ici c'est pareil. La série formelle n'est bien sûr pas inversible dans . Elle est non nulle, et donc inversible dans le corps de fractions .
Oui oui je sais et je ne le considère pas comme un corps. Mais a partir de cet anneau on peut construire un corps avec une relation d'équivalence comme , appelé corps de fractions.
Et un des buts de mon exo est de montrer que le corps de fractions des séries formelles est l'ensemble des séries de Laurent.
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