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Corps de fractions des séries formelles

Posté par
raisinsec 25-02-21 à 14:23

Salut,

Pour un exo je dois montrer que l'ensemble des séries de LaurentK((t))=\left\{\sum_{j=n}^{\infty }{a_{j}t^{j}|a_{j}\in K,n\in Z(relatifs)} \right\} est le corps de fractions des séries formelles à coefficients dans K. J'ai déjà montré que c'était un corps en exhibant un inverse.

Pour ça je veux entre autres montrer que si x\in K((t)), alors x=\frac{a}{b}, a\in K[[t]], b\in K[[t]]^{\times } (b inversible)

Si je prends f(t)=\sum_{j=n}^{\infty }{a_{j}t^{j}} avec a_{n}\neq 0 (sinon on prend le minimum), j'ai que f(t)g(t)=1,f(t)=t^{n}\sum_{j=0}^{\infty} {a_{i+n}t^{i}}, g(t)=t^{-n}\sum_{q=0}^{\infty} {c_{q}t^{q}}
car j'ai montré que c'est un corps et j'ai trouvé un inverse de cette forme (la somme avec les cq est l'inverse de la somme avec les ai+n qui existe car an est non nul)

Si n est positif c'est bon. Si n est négatif j'ai f(t)=\frac{t^{n}}{\sum_{j=0}^{\infty }{c_{q}t^{q}}} qui n'est pas de la bonne forme, et je mets t-n au dénominateur, le dénominateur ne sera pas inversible car le coefficient devant t0 sera nul.

Quelqu'un peu m'aider ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Corps de fractions des séries formelles 25-02-21 à 15:03

Bonjour

Je ne vois pas trop où est ton problème.
Tu prends f(t)=t^n(a_0+...+a^kt^k+...) avec a_0\neq 0.
Je crois que tu as démontré que (a_0+..+a_kt^k+...) est inversible pour a_0\neq 0.
Mais t^n et t^{-n} sont dans l'anneau pour tout n\in\Z et ils sont inverses l'un de l'autre.
Le produit de deux inversibles étant inversible...

Posté par
raisinsecre : Corps de fractions des séries formelles 25-02-21 à 15:08

Merci pour ta réponse
Je pense pas que t^{n} soit dans K[[t]]
n puisque K[[t]]=\left\{\sum_{j=0}^{\infty }{a_{j}t^{j}} \right\} est l'anneau des séries formelles que j'ai vu, je crois pas qu'on puisse avoir des puissances négatives de t.

Posté par
Camélia Correcteurre : Corps de fractions des séries formelles 25-02-21 à 15:10

Tu as parlé des séries de Laurent! Elles ont des termes en t^k avec k<0 en nombre fini. D'ailleurs tu as écrit à ta première ligne une définition correcte!

Posté par
raisinsecre : Corps de fractions des séries formelles 25-02-21 à 15:12

Oui mais je souhaite montrer qu'un série de Laurent peut 's'écrire comme un quotient de 2 séries formelles dont celle au dénominateur est inversible.

Je fais la différence entre K[[t]] (séries formelles) et K((t))

Posté par
Camélia Correcteurre : Corps de fractions des séries formelles 25-02-21 à 15:21

Je ne crois pas que tu puisses y arriver! t^k pour k\geq 1 n'est pas inversible dans les séries formelles, qui ne forment pas un corps! Les séries de Laurent c'est justement le plus petit corps qui contient l'anneau des séries formelles!

Posté par
raisinsecre : Corps de fractions des séries formelles 25-02-21 à 15:47

Justement, le corps de fractions est le plus petit corps contenant l'anneau, donc ça doit être possible.

Posté par
Camélia Correcteurre : Corps de fractions des séries formelles 25-02-21 à 15:57

Je ne peux rien te dire de plus. L'anneau des fractions n'est pas un corps!

Posté par
Camélia Correcteurre : Corps de fractions des séries formelles 25-02-21 à 15:58

Erreur! L'anneau des séries entières n'est pas un corps!

Posté par
GBZMre : Corps de fractions des séries formelles 25-02-21 à 16:01

Bonjour raisinsec,

Soit A un anneau commutatif intègre. Le corps des fractions de A est l'ensemble des fractions \dfrac{a}{b} où a,b sont des éléments de A et b est non nul (modulo la relation d'équivalence que je ne rappelle pas). L'élément b est inversible dans le corps de fractions, mais il n'y a aucune raison qu'il soit inversible dans A.

Est-ce qu'il te viendrait à l'idée de vouloir écrire un nombre rationnel sous la forme \dfrac{p}{q} avec p entier et q entier inversible dans \Z, c.-à-d. q=\pm1 ??
Bien sûr que non ! Tout ce qu'on demande à q, c'est d'être non nul.

Ici c'est pareil. La série formelle t^n n'est bien sûr pas inversible dans k[[t]]. Elle est non nulle, et donc inversible dans le corps de fractions k((t)).

Posté par
raisinsecre : Corps de fractions des séries formelles 25-02-21 à 16:03

Oui oui je sais et je ne le considère pas comme un corps. Mais a partir de cet anneau on peut construire un corps avec une relation d'équivalence comme (a,b)\sim (c,d)SSIad=cb, appelé corps de fractions.

Et un des buts de mon exo est de montrer que le corps de fractions des séries formelles est l'ensemble des séries de Laurent.

Posté par
raisinsecre : Corps de fractions des séries formelles 25-02-21 à 16:05

Ah oui effectivement, b n'est pas forcément inversible. C'est complètement idiot de ma part merci à vous deux.


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