Bonjour, j'ai du prendre une pause dans mes études à cause de la pandémie et il me reste un devoir à rendre qui date de Mars, et pour lequelle j'ai jusqu'au 1er Septembre.

Le problème est que je n'était déjà pas à l'aise dans la matière, replonger dedans 4 mois après n'est pas très facile. Ce devoir va aussi cloturer ma majeur en mathématique, ce sera mon derniers cours de maths. Si certaines personnes sont intéréessés à m'aider plus profondément en privé, ça me ferai plus que plaisir de compenser l'aide offerte.

Je commence par devoir montrer les 6 affirmations suivantes :

(1) le polynôme f(x) = x2 − a x − b est irréductible dans Fp[x];

(2) Fp[x]/⟨f(x)⟩ est donc un corps, de caractéristique p ;

(3) l'existence d'un corps à q éléments revient à montrer qu'il existe un polynôme irréductible de degré 2 dans Fp[x];

(4) les classes d'équivalences modulo ⟨f(x)⟩, dans Fp[x], contiennent un unique polynôme de degré 1 : donc de la forme n + k x, avec n et k dans Fp ;

(5) la fonction qui associe a chaque classe dans Fp[x]/⟨f(x)⟩ ce reste, donne un isomorphisme entre le corps Fp[x]/⟨f(x)⟩ et Fq.

(6) il existe (au plus) un seul corps à q = p2 éléments (à isomorphisme près)

Donc j'aimerai des pistes poour chacune d'entre elles, je sais que j'en demande beaucoup mais je n'ai vraiment pas de vision claire et en plein milieu de l'été j'ai du mal à me concentrer