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Corps non commutatif

Posté par
chiahetcho 08-04-17 à 19:19

Bonjour, nous faisons en ce moment les matrices et il y a une démonstration dans mon cours (et que je retrouve aussi sur internet) que je ne comprends pas. La voici :

A Mp,q(K), B Mq,r(K)

Alors t(AB) = tBtA

demonstration :

pour 1ir, 1jp :

(tAB)[i,j] = (AB)[j,i] = A[j,k]B[k,i] = (tA)[k,j](tB)[i,k] = tBtA

Je ne comprends pas le passage de l'avant dernière à la dernière expression car pour moi cela nécessite la commutativité du corps K. Je sais qu'en général ce corps est commutatif, néanmoins dans le cas d'une assertion générale comme celle-ci le corps n'est pas supposé commutatif. Alors je me disais qu'il ne s'agissait peut-être pas d'un problème de commutativité et que j'ai simplement mal compris le passage entre ces deux lignes. Si quelqu'un pouvait m'éclairer. Merci.

Posté par
carpediemre : Corps non commutatif 08-04-17 à 19:28

salut

tu a raison ...

si C = AB alors c_{i,j} = \sum_k a_{i, k}b_{k, j}

et ^tC =  ^tB  ^tA avec ^tc_{i, j} = \sum_k b_{i, k}a_{k,j}

et il faut la commutativité du corps K

Posté par
verdurinre : Corps non commutatif 08-04-17 à 19:49

Je suis d'accord, mais j'ai lu je ne sais plus où que maintenant les corps sont commutatifs par définition.
Et que, par exemple, les quaternions ne sont plus un corps.

Posté par
carpediemre : Corps non commutatif 08-04-17 à 20:06

disons plutôt que :

un corps est implicitement commutatif

et quand il ne l'est pas il faut le dire !!




dans tous les cas on voit qu'il est utile et même nécessaire de savoir de quoi on parle pour pouvoir en parler !!!

Posté par
jeansebre : Corps non commutatif 08-04-17 à 21:56

Bonsoir

Il me semble que de même maintenant un anneau est forcément (ou implicitement) unitaire. Vrai?

Posté par
jsvdbre : Corps non commutatif 09-04-17 à 01:19

jeanseb @ 08-04-2017 à 21:56

Il me semble que de même maintenant un anneau est forcément (ou implicitement) unitaire. Vrai?

Va savoir : Anneau non unitaire
Mais bon, les anneaux non-unitaires sont à peu de chose près des idéaux d'anneaux unitaires.
J'ai dans mon cours de Licence 96-97 que la définition d'anneau comporte l'unité. Alors que dans mon cours DEUG2 de l'année précédente, l'unité n'y est pas et fait l'objet d'une définition à part.

verdurin @ 08-04-2017 à 19:49

Et que, par exemple, les quaternions ne sont plus un corps.

Effectivement, je crois qu'on parle plus volontiers d'algèbre à division que de corps.
A noter que le centre des quaternions n'est autre que le corps des nombres réels.
Autre exemple :
Soit F_q un corps fini à q = p^r éléments (r ≥ 2).
Si on munit l'ensemble des séries formelles \sum a_nT^n sur F_q de l'addition habituelle et d'une multiplication déduite par distributivité et associativité de la règle élémentaire Ta = a^pT, on obtient un corps non commutatif F'_q(T).
Il est facile de voir que le centre de ce corps est formé des séries formelles constantes a_0 où a_0 \in F_p et qu'il est donc isomorphe à F_p. Les séries formelles à coefficients dans F_p forment un sous-corps commutatif de F'_q(T).

Posté par
chiahetchore : Corps non commutatif 09-04-17 à 15:46

Merci pour vos réponses, il y a donc bien une ambiguïté, je suppose que mon professeur se référait au corps des complexes ou des réels uniquement.

Posté par
ThierryPomare : Corps non commutatif 09-04-17 à 16:17

Bonjour,

Suite à ton message du 09-04-17 à 15:46 : De quoi pourrait-il s'agir d'autre  en Maths Sup ? A moins que ton profil ne soit incorrect...

Posté par
chiahetchore : Corps non commutatif 09-04-17 à 16:35

Certes, mais on peut quand même se poser la question dans un cadre plus large que le programme.

Posté par
ThierryPomare : Corps non commutatif 09-04-17 à 16:47

Oui, bien entendu. Ce que je voulais dire, c'est que le niveau d'étude est déjà un bon indicateur pour deviner que l'on a nécessairement affaire à des corps commutatifs et non à des corps gauches.

Posté par
carpediemre : Corps non commutatif 09-04-17 à 16:49

certes .. mais puisque le produit de matrices à coefficients dans un corps K fait intervenir le produit d'éléments de K et vu la définition de l'opérateur transposée et son application à un produit de matrices ... il est évident que l'égalité demandée implique la commutativité du corps K ...

Posté par
jsvdbre : Corps non commutatif 10-04-17 à 10:09

Citation :
le niveau d'étude est déjà un bon indicateur pour deviner que l'on a nécessairement affaire à des corps commutatifs et non à des corps gauches.

Je vois d'ici le théorème.
Soit K un corps étudié en maths sup. Alors K est commutatif. Très bourbakiste


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