joli exo, jamo

Ça a l'air sympathique effectivement original, en tout cas !
Mais mon neurone est en panne pour aujourd'hui

Oui, ça change des ensembles de nombres habituels ...

Et au passage, je pense que c'est un bon moyen de comprendre ces structures d'ensemble, c'est plus concret que les habituels ensembles qu'on présente et qui n'existent même pas !

où l'as-tu trouvé, jamo ?

Je donnerai la source à la fin, car on y trouve une solution !

ok

Bonjour

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On commence par montrer que est un groupe commutatif.

Telle que l'on a définit l'addition on a bien une loi de composition interne, car en prenant deux points A et B de E ie appartenant à la parabole, alors S=A+B appartient également à E.

Pour montrer que (A+B)+C=A+(B+C) soit que + est associative, on montre que (AS')//(CS) avec S'=B+C et S=A+B (j'ai utilisé la méthode analytique donc bien bourrin je pense qu'on peut trouver une preuve géométrique)

Le neutre est O puisqu'on vérifie par construction que pour tout point M de E  : M+O=M.

Et l'inverse d'un point M quelconque de E est son symétrique par rapport à l'axe D.

Et + est clairement commutative.

J'ai pas trop le temps de développer je ne suis pas sur mon PC, je continuerais demain.

Petit up pour les intéressés

Voici une solution.

Préliminaires

Quel que soit la parabole E de sommet O et le point I sur celle-ci (sauf en O), on peut toujours trouver un repère dans lequel l'équation de la parabole est y=x²

Danc ce repère, soit a, b, s et p les abscisses respectives des points A, B, S et P (les ordonnées sont a², b², s² et p²).

On montre assez facilement :

Equation de la droite (AB) :

Abscisse du point S :

Ordonnée du point N :

Equation de la droite (IN) :

Abscisse du point P :

Remarque : ces calculs restent valables dans le cas où les points A et B sont confondus (a=b). Dans ce cas-là, la droite (AB) est remplacée par la tangente à E au point A, et cette tangente a pour coefficient directeur 2a (qui est bien égal à a+b dans ce cas).


Montrons que (E;+) est un groupe commutatif

L'abscisse du point S étant donnée par , on en déduit que la loi + sur E est bien associative et commutative, que l'élement neutre est le point O (d'abscisse 0) et que tout point A d'abscisse a admet un symétrique, noté -A, d'abscisse -a (A et -A sont symétrique par rapport à l'axe de la parabole.


Montrons que (E;+;*) est un anneau commutatif

L'abscisse du point P étant donnée par , on en déduit que la loi * sur E est bien associative et commutative, qu'elle est bien distributive par rapport à la loi +, et que l'élement neutre est le point I (d'abscisse 1).


Montrons que (E;+;*) est un groupe commutatif

Tout point A différent du point O admet un symétrique pour la loi *, noté A-1, d'abscisse 1/a. (dans ce cas, la droite (IN) est tangente en I, d'où P=I)

Autre méthode

Soit f l'application qui a tout réel a associe le point A d'abscisse a sur la parabole E. Cette application étant bijective de R sur P, on peut montrer que f est un isomorphisme du corps (R;+;*) sur (E;+;*), ce qui prouve que ce dernier est bien un corps.
Pour cela, il suffit de montrer que f(x+y) = f(x)+f(y) et f(xy)=f(x)*f(y)

Résolution de l'équation A*X+B=O

Cas 1 ) B distinct de O, et A distinct de O

Une seule solution : X=-A-1*B

Cas 2 ) B=O, et A distinct de O

Une seule solution : X=O

Cas 3 ) B distinct de O, et A=O

Aucune solution

Cas 4 ) B=A=O

Une infinité de solution : tout point de la parabole.

Merci jamo

Pour montrer que (E,+) est un groupe j'ai procédé comme toi par méthode analytique mais je m'attendais à un résultat géométrique...

Problème sympa, hop en favoris !

Il existe une solution géométrique ...

Tu l'as sous le coude ?

Et voilà, c'est le problème 72 :

Et c'est lorrain !

Au fait, infophile, l'année prochaine : Loritz, Poincaré, ... ?

Tiens, tu étais à Jarny !!

Les initiales de ton prof de maths ? L.D., tu connais ?

L'année prochaine à Fabert.

Oui je connais Laurent D. c'est de lui dont tu parles ?

Cette année j'avais Denis B.

Pour la solution géométrique ça me rassure ce n'était pas évident ^^

Oui, c'est de lui dont je parle ! Je l'ai eu en 2nde et en 1ère, il y a environ 15 ans, il était dans le lycée "à côté", à Briey !

En effet, la solution géométrique n'a pas l'air évidente, je n'ai même pas cherché à la comprendre ...

Ah ok, moi je ne l'ai pas eu en tant que prof mais il a l'air sympa

Tu es d'origine de lorraine ?

Oui, je suis de là-haut.

Bonjour Bonjour

_{Vive la Lorraine et surtout la Moselle}

Joli exo

Salut guitou

Niveau temps y'a mieux quand même

Salut infophile

Tant qu'il ne pleut pas, on peut s'estimer heureux