bonsoir,en fonction de quoi veux tu l'exprimer?

bonjour

sinon

cos2x=2cos²x-1=1-2sin²x

...

Philoux

mais aussi

Bonsoir philoux

Tout dépend en fonction de quoi ? voir veleda 19:08

bonsoir littleguy

en 2nde, je pense que ce doit être en fonction de cosx ou sinx

Philoux

oups j'avais pas vu 2nde !
...mais même tes résultats ne sont pas au programme

On peut juste dire cos²(2x)=1-sin²(2x).

david2609, peux-tu donner d'autres détails sur ton exercice ?

Je suis en terminale, et si je comprend bien, cos2x=2cos²x-1 car 2cos²x-1=cos²x-sin²x et (cos x + sin x)(cos x - sin x)=cos2x... mais pourquoi (cos x + sin x)(cos x - sin x)=cos2x? Est-ce que la démonstration est du niveau de terminale, et si oui quelqu'un pourrait-il me la faire s'il vous plait?
Idem pour cos²2x=(1+cos4x)/2; je ne comprend pas cette formule!
Merci d'avance ^^

Bonsoir

Heu... cos(2x) = cos(x+x) = cos(x)cos(x)-sin(x)sin(x).

C'est la formule de duplication qui provient de la formule d'addition.

Pour la 2e,

Tu as cos2x = 2cos²x - 1, donc si tu appliques pour x = 2x tu trouves cos4x = cos(2*2x)= 2cos²2x - 1.

en transformant tu retrouves la bonne formule

minkus

Merci minkus, j'ai bien compris pour la seconde formule, mais la formule de duplication qui provient de l'addition... la démonstration est dans ta phrase et je ne la vois pas ou bien en terminale, je suis seulement censé l'admettre?

N'as tu pas appris les formules suivantes ?

Cos(a+b) = cosacosb - sinasinb
sin(a+b) = sinacosb + sinbcosa etc...

En fait, si je comprend bien ce que tu voulais dire, c'était simplement cos²x-sin²x=2cos²x-1=cos2x... Mais si c'est le cas, pourquoi 2cos²x-1=cos2x? :p

Merci pour vos réponses

Désolé, j'ai répondu avant de lire ta réponse... si, j'ai appris ces formules, mais le^problème est que je les ai apprises sans les comprendre, et c'est pour cela que je demandais une démonstration...

Si tu es en TS tu as du faire les complexes non ?

Oui, j'ai vu les complexes... je vois que vous êtes professeur, donc j'aimerais bien que vous me fassiez (si possible) cette démonstration, même si elle n'est peut-être pas de mon niveau... s'il y a des choses que je ne comprendrais pas, je poserais les questions correspondantes! ^^

Merci d'avance

Je suis prof en effet mais en college et ca fait longtemps que je n'ai pas manipule les formules trigo

On va essayer:

exp(ia) = cosa + icosa
exp(ib) = cosb + icosb

exp(i(a+b)) = cos(a+b) + isin(a+b)

d'accord jusque la ?

Jusque là, tout est ok ^^

En fait je me suis trompe, j'ai ecris trop vite

c'est

exp(ia) = cosa + isina
exp(ib) = cosb + isinb

Oui, je n'avais pas remarqué l'erreur mais dans ma tête, tout était clair! ^^

Donc il suffit de developper

cos(a+b) + isin(a+b) = exp(i(a+b)) = exp(ia)*exp(ib) = (cosa+isina)*(cosb+isinb)


= cosacosb-sinasinb + i(cosasinb+cosbsina)

et en identifiant les parties reelles et imaginaires tu obtient les deux egalites

cos(a+b) = cosacosb-sinasinb
sin(a+b) = cosasinb+cosbsina


Pour les formules cos(a-b) et sin(a-b) tu refais pareil avec a-b, ou tu remplaces b par -b, c'est plus rapide.

Tu vois, avec les complexes, c'est d'une simplicite enfantine

J'ai appris cette formule au milieu de cette année (alors qu'on était censé la connaître avant) mais je ne la comprenais pas. Maintenant, c'est tout clair, grâce à vous je n'ai même plus besoin de la connaître par coeur, elle coulera de source... bon j'exagère peut-être un peu mais je suis content de connaître cette démonstration, merci beaucoup!

Sur ce, bonne nuit et à bientôt j'espère ^^

je n'ai même plus besoin de la connaître par coeur

Oui c'est le but, moi-meme je ne les connais pas par coeur car je ne les utilise pas tous les jours

Bonne nuit a toi aussi et bon courage.

minkus

PS: Petit exo pour la route. En utilisant la meme methode, essaie de calculer cos(3x) et cos(5x).

^^ exp(i(3x))=exp(i(x+2x))=exp(ix)*exp(i2x)=(cosx+isinx)(cos2x+isin2x)=(cosx+isinx)(cos²x-sin²x+2i(cosx*sinx))=(cosx)^3-cosx*sin²x-2cosx*sin²x+i(cos²x*sinx-(sinx)^3+2cos²x*sinx)=cos(3x)+isin(3x)
Donc par idéntification, on obtient cos3x=cosx(cos²x-3sin²x)
Est-ce que tout est bon? Je ne vais pas le faire pour cos(5x), ça risque d'être long, mais je pense avoir bien compris... Merci encore