Niveau Maths sup

Cosinus

Posté par
Laurierie 17-09-05 à 10:08

Bonjour,
Je travaille actuellement sur un exercice de trigo ou j'ai résolu pas mal de questions mais je bloque à quelques une d'entre elles. Voici l'énoncé:

Soit x le réel Pi/17. On pose x1=cos3x+cos5x+cos7x+cos11x
x2=cosx+cos9x+cos13x+cos15x

a.Montrer sans utiliser de calculatrice que x1 est strictement positif
Je ne vois pas comment faire

b.Calculer x1+x2 ( on trouvera un rationnel tres simple)
Je trouve 1/2, ce qui est confirmé par la calculatrice

c.Calculer le produit x1x2. Pour cela dévelloper le produit des deux sommes x1 et x2,linéariser chacun des produits intervenant dans cette somme, montrer que x1x2=-2(x1+x2)

Je fais ce qui est demandé (calcul énorme) et voici ce que je trouve:
cos2x+cos4x+cos6x+0.75(cos8x+cos10x+cos20x)+0.5(cos12x+cos16x+cos18x)+0.25(cos22x+cos24x+cos26x)
Je n'arrive pas a conclure que cela fait -1.

d.Déduire de ce qui précede des expressions de x1 et x2 par radicaux.
Il suffit de ce ramener a une équation du second degré car on a le produit des racines et la somme des racines.

Pour résumer,la question a et c me pose problème. Pourriez vous m'aider??
Merci infiniment pour votre aide

Posté par re : Cosinus 17-09-05 à 10:14

a.
$x_1=\cos\frac{3\pi}{17}+\cos\frac{5\pi}{17}+\cos\frac{7\pi}{17}+\cos\frac{11\pi}{17}=\cos\frac{3\pi}{17}+\cos\frac{5\pi}{17}+\cos\frac{7\pi}{17}-\cos\frac{6\pi}{17}=(\cos\frac{3\pi}{17}-\cos\frac{6\pi}{17})+\cos\frac{5\pi}{17}+\cos\frac{7\pi}{17}$
= somme de 3 termes >0

Posté par re : Cosinus 17-09-05 à 11:24

Merci pour ta réponse Nicolas_75. Il ne me reste plus qu'a traiter la question c. Merci encore

Posté par re : Cosinus 17-09-05 à 14:23

Est ce que quelqu'un peut m'aider pour la question c ou je suis bloqué?
Je vous remercie

Posté par re : Cosinus 17-09-05 à 18:15

2cosa cosb=cos(a+b)+cos(a-b)
lorsque je calcule 2x1x2, je vais avoir une somme 16 produits donc une somme de 32 termes: les sommes 4x 6x 8x 12x 12x 14x 16x 20x 16x 18x 20x 24x 18x 20x 22x 26x et les différences 2x 4x 6x 10x 6x 4x 2x 2x 10x 8x 6x 2x 12x 10x 8x 4x.
Or 34x=2pi, cos((34-k)x)=cos x donc cos18x=cos16x, cos20x=cos14x, cos22x=cos12x, cos24x=cos10x et cos26x=cos8x. Compte tenu de ces remarques, il n'y a plus que 8 termes différents qui apparaissent 4 fois chacun
2x1x2=4(cos 2x+cos4x+cos 6x+cos 8x+cos10x+cos12x+cos14x+cos 16x)
Enfin17x=pi donc cos(17-k)x=-coskx donc cos16x=-cosx, cos14x=-cos3x, etc...
donc x1x2=-2(cosx+cos3x+cos5x+cos7x+cos 9x+cos11x+cos13x+cos 15x)
x1x2=-2(x1+x2)
Il ne reste plus qu'à résoudre l'équation x^2-x/2-1=0
donc x1=(1+rac(17))/4 , et x2=(1-rac(17))/4