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cosinus polynomial

Posté par
Lokie85 01-10-17 à 14:44

Bonjour,

Dans un exercice on me donne pour tout entier n la fonction fn(x) tel pour tout  x\epsilon [-1,1], f_{n}(x)=cos(2n Arcsin(x))
Je dois montre que fo, f1 et f2 sont des fonction polynomiales.

On a :
f_{0}(x)=cos(0)=1
f_{1}(x)=cos(2 Arcsin(x))
f_{2}(x)=cos(4 Arcsin(x))

On a bien fo polynomiale car c'est une fonction constante. Par contre, je ne comprends pas comment on peut dire que f1 et f2 sont polynomiales........

Merci d'avance pour votre aide

Posté par
luzakre : cosinus polynomial 01-10-17 à 14:52

Bonjour !
\cos(2a)=1-2\sin^2a;\;\cos(4a)=2\cos^2(2a)-1=2(1-2\sin^2a)^2-1.

Il te reste (faut bien que je te laisse quelque chose à faire) à calculer \sin(\arcsin x)...

Posté par
verdurinre : cosinus polynomial 01-10-17 à 14:55

Bonjour.

En prenant f_1 comme exemple.

\cos(2 u)=2\cos^2u-1=1-2\sin^2u

Donc, pour tout x dans [-1;1]
f_1(x)=1-2\Bigl(\sin(\arcsin(x))\Bigr)^2=\ldots

Posté par
verdurinre : cosinus polynomial 01-10-17 à 14:55

Salut luzak

Posté par
Lokie85re : cosinus polynomial 01-10-17 à 15:38

Bonjour à tous !
Ah oui effectivement je n'y avais pas pensé
Merci beaucoup

Du coup je trouve f_{1}(x)=1-2x^2
et
f_{2}(x)=8x^4-8x^2+1

Posté par
Lokie85re : cosinus polynomial 01-10-17 à 17:01

Dans la suite de l'exercice, on obtient f_{n+2}(x)+f_{n}(x)=2(1-2x^2)f_{n+1}(x)

Puis on nous demande de montrer que pour tout entier n il existe un polynôme Pn de degré 2n tel que pour tout x compris entre -1 et 1 inclus, on a f_{n}(x)=P_{n}(x)

J'ai essayé d'utiliser la réponse précédente c'est-à-dire f_{n+2}(x)+f_{n}(x)=2(1-2x^2)f_{n+1}(x) mais ça me donne quelque chose de TRES compliqué et qui n'est même pas la réponse à la question :

f_{n}(x)=2(1-2x^2)(2cos^2(nArcsinx)-cos(nArcsinx)-1)-(\sqrt{1-cos^2(nArcsinx)})(2x\sqrt{1-x^2})-1

Je ne vois pas du tout quelle méthode utiliser pour trouver la réponse....

Merci de votre aide !

Posté par
verdurinre : cosinus polynomial 01-10-17 à 17:19

f_{n+2}(x)+f_{n}(x)=2(1-2x^2)f_{n+1}(x)

peut s'écrire

f_{n+2}(x)=2(1-2x^2)f_{n+1}(x)-f_{n}(x)

Puis une récurrence facile permet de conclure.

Posté par
Lokie85re : cosinus polynomial 01-10-17 à 17:26

Ah ok j'avais fait cela en mettantf_{n}(x) du côté gauche et en développant e qui était une mauvaise idée.

J'imagine qu'il faut poser la récurrence Qn : f_{n+2}(x) est un polynôme de degré 2n. Mais pourquoi est-ce qu'on fait la récurrence pour f_{n+2}(x) et pas f_{n}(x) en passant f_{n}(x)  du côté gauche ?

Posté par
verdurinre : cosinus polynomial 01-10-17 à 17:53

On pourrait écrire

f_{n}(x)=2(1-2x^2)f_{n-1}(x)-f_{n-2}(x)

à la place de

f_{n+2}(x)=2(1-2x^2)f_{n+1}(x)-f_{n}(x)

C'est exactement la même chose, sauf pour les petites valeurs de n.

Posté par
Lokie85re : cosinus polynomial 01-10-17 à 18:30

Et pourquoi ne peut-on pas écrire : f_{n}(x)=2(1-2x^2)f_{n+1}(x)-f_{n+2}(x) puisqu'on a :
f_{n}(x)+f_{n+2}(x)=2(1-2x^2)f_{n+1}(x)

Posté par
verdurinre : cosinus polynomial 01-10-17 à 18:43

On peut l'écrire, mais quel est l'intérêt ?

Il faut voir de que tu veux démonter, et comment le faire.

Posté par
Lokie85re : cosinus polynomial 01-10-17 à 18:51

Ok, je voulais juste être sûre de ne pas penser des choses fausses.

On peut donc écrire :

P_{n}(x)=f_{n}(x)=2(1-2x^2)f_{n-1}(x)-f_{n-2}(x)

mais est-ce qu'il n'y aurait pas un moyen de le mettre sous forme de "vrai polynôme" en posant X=.... ?

Posté par
verdurinre : cosinus polynomial 01-10-17 à 23:22

Si P et Q sont des polynômes de variable X alors R défini par
R(X)=2(1-X2)P(X)-Q(X)
est aussi un «vrai » polynôme.

Posté par
Lokie85re : cosinus polynomial 04-10-17 à 00:30

Bonsoir,

Merci J'ai réussi la récurrence.

On me demande ensuite de trouver f'_{n}(x) puis f''_{n}(x)

J'ai dérivé et j'ai trouvé:

f'_{n}(x)=-8xcos(2(n-1)Arcsin(x))-\frac{(n-1)(2-4x^2)}{\sqrt{1-x^2}}sin(2(n-1)Arcsin(x))+2\frac{(n-2)}{\sqrt{1-x^2}}sin(2(n-2)Arcsin(x))

qui est une expression très compliquée mais que je ne vois pas comment simplifier plus surtout que je dois trouver après f''n(x)

Merci d'avance !

Posté par
luzakre : cosinus polynomial 04-10-17 à 09:24

Bonjour !
Où as-tu déniché cette expression ?

Il fallait dériver l'expression initiale de f_n :
f_n(x)=\cos(u(x)),\;u(x)=2n\arcsin x donc f'_n(x)=-\sin(u(x))\,u'(x)=-\sin(2n\arcsin x)\,\dfrac{2n}{\sqrt{1-x^2}}


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