=9. C'est ça ?
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Niveau terminale
Cosinus / Sinus
Posté par wanowan
Bonjour,
J?ai un DM et je bloque? voilà l?énoncé :
Exercice1
Partie A :
1)Prouver que, pour tout x
[0 ; 
/2], 2cos&x+cosx-1=(cos x -0.5)(2cos x+2)
2) Résoudre l'innéquation 2cos²x+cosx -1
0 sur [0 ; /2 ]
Partie B :
ABC un triangle isocèle en A inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1.
H est le plan orthogonal du point A sur le segment CB.
On note x la mesure en radian de l?angle HOB avec x[o ; /2].
1) Faire un diagramme les unités ne sont pas imposées.
2) Déterminer la longueur de BC et AH en fonction de x.
3) Déduire en fonction de x l?aire S(x) du triangle ABC.
4) Montrer que pour tout x[0 ; /2]S?(x)=2cos²x+cosx-1.
5) Pour quelle valeur de x l?aire du triangle est maximale ? préciser le maximum.
Exercice 2 :
******
Merci de m'aiguiller !!
Citation :
ABC un triangle isocèle en A inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1.
H est le plan orthogonal du point A sur le segment CB.
On note x la mesure en radian de l'angle HOB avec x[o ; /2].
1) Faire un diagramme les unités ne sont pas imposées.
2) Déterminer la longueur de BC et AH en fonction de x.
ABC un triangle isocèle en A inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1.
H est le plan orthogonal du point A sur le segment CB.
On note x la mesure en radian de l'angle HOB avec x[o ; /2].
1) Faire un diagramme les unités ne sont pas imposées.
2) Déterminer la longueur de BC et AH en fonction de x.
BC
BC=2BH
sinus BOH=BH/OB
Ou
BH=sin(x)
donc
BC=2 sin(x)
AH
AH=AO+OH=1+OH
Or
OH=cos(x)
donc
AH=1+cos(x)
Citation :
3) Déduire en fonction de x l'aire S(x) du triangle ABC.
3) Déduire en fonction de x l'aire S(x) du triangle ABC.
Ici pas de difficulté
S(x)=(BC*AH)/2
AH=1+cos(x)
BC=2 sin(x)
Oui !!
Merci pour la 2)
Pour la 3) c'est avec l'aire du triangle : B*h/2 donc (2 sin x*h)/2
Comment trouver la hauteur ?
S(x)= 2sin(x)*(1+cos(x))/2=sin(x)*(1+cos(x))
dérivée de sin(x)= cos(x)
dérivée de cos(x)= -sin(x)
S'(x)=cos(x)((1+cos(x)) + (-sin(x) (sin(x))
= cos(x)+cos²(x)-sin²(x)
= cos(x)+cos²(x) -(1-cos²(x))
= cos(x)+cos²(x) -1+cos²(x)
=2cos²x+cosx-1.
Citation :
5) Pour quelle valeur de x l'aire du triangle est maximale ? préciser le maximum.
5) Pour quelle valeur de x l'aire du triangle est maximale ? préciser le maximum.
S'(x)==2cos²x+cosx-1.
pose X=cos(x)
Ok merci beaucoup je ne m'y prenais pas pareil !!
Il faut donc faire un tableau de variation est regarder le maximum de la courbe S(x)
Les valeurs ou la courbe change de signe son : x1=-0.5 et x2=1 avec un delta égale à 9 ? c'est ça ? et après il faut que je fasse le tableau de signe pour trouver le tableau de variation ?
Merci !
bonjour
je t'ai dupliqué ton exo 2 dans un autre sujet ouvert à ton nom, surtout ne le recopie pas
mais la prochaine fois, respecte bien les règles. Merci !
(modérateur)
Pour la 2) de la partie j'ai trouve que l'équation était supérieur à 0 sur [-0.5;1] mais comme c'est sur [0;pie/2] donc l'équation est supérieur à 0 sur [0;1]. C'est ça ?
rappel: on nous demande dans l'intervalle [0;pi/2]
(cos x -0.5)(2cos x+2)0
si l'on fait le tableau,
S'(x) est positif pour cos(x)0.5
ou
cos(x)1/2
or
cosinus de 1/2 = pi/3 +2 kpi
comme on nous demande de travailler dans l'intervalle [0;pi/2]
donc x [pi/3; pi/2]
sauf distraction
rappel:Si la dérivée est nulle en un point x0 alors la fonction admet un maximum ou un minimum en x0.
S'(x)==2cos²x+cosx-1.
posons X= cos(x)
S'(x)= 2X1+X-1
Discriminant = 9
X'= 1/2 et X"=-1
X'= 1/2 ou cos(x)=1/2
ou
x=pi/3+ 2kpi
reste à trouver S(x)
S(pi/3)= sin(pi/3)(cos(pi/3)+1)
=
3/2 (1+1/2)=.......
3/2 (1+1/2)=33/4 mais je ne vois pas en quoi ce point est le maximum... La valeur de x pour laquelle l'aire est la plus grande doit s'appliquer sur la fonction de base ou sur sa dérivée ?
Citation :
La valeur de x pour laquelle l'aire est la plus grande doit s'appliquer sur la fonction de base ou sur sa dérivée ?
La valeur de x pour laquelle l'aire est la plus grande doit s'appliquer sur la fonction de base ou sur sa dérivée ?
de base bien sûr
As-tu compris pour maxi ?
et cerise sur la gâteau...
HOC=x= Pi/3 angle au centre, l'angle HAC qui intercepte le même arc vaut donc Pi/6,
le triangle ABC est isocèle en A et AO est la médiatrice de BC
donc par symétrie HOB=Pi/3 HAB=Pi/6 ==> BAC=Pi/3 et le triangle ABC qui est isocèle à A et dont l'angle A vaut Pi/3:
conclusion le triangle ABC avec x=pi/ 3 est équilatéral.