Bonjour,
et merci d'animer.

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En première lecture je dirai 200 (10x2x2.Mais je pense qu'on peut optimiser en travers ....

Je verrais plutôt :

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361=19X19 .

Suite,

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Le coup de sabre  selon un hexagone régulier de
coté 52   permettrait de couper 130 cubes unité.

On suppose que la coupe du sabre est dans un plan. Non?

Bonjour,
Merci derny d'animer

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Avec l'hexagone régulier, je trouve 177 carrés coupés.

Je corrige:

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Toujours avec l'hexagone régulier, je ne trouve que 150 .

On suppose que les cubes sont alignés sur les axes et que le grand cube a pour sommets (0,0,0), (10,0,0), (10,10,0), (0,10,0), (0,10,10), (10,10,10), (10,0,10) et (0,0,10).

Un des hexagones réguliers a pour équation x+y+z = 15. Je calcule que cet hexagone coupe 150 cubes et passe par un sommet de 146 autres.

En le déplaçant légèrement, j'obtiens un maximum de 230 cubes coupés pour le plan 0.995x+1.001y+1.102z = 15.

Je n'ai pas trouvé mieux, en particulier, je ne vois pas comment Imod coupe son cube puisqu'il n'est pas possible de faire passer un plan par deux diagonales de deux faces non parrallèles.

Voici le code pour calculer le nombre de coupes (un cube est coupé ssi une des grandes diagonales est coupée):

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def cut(x,y,z,a,b,c,d):
   for dx,dy,dz in ((1,1,1),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0)):
      va = a*(x+dx)+b*(y+dy)+c*(z+dz)+d
      vb = a*(x+1-dx)+b*(y+1-dy)+c*(z+1-dz)+d
      if (va > 0 and vb < 0) or (va < 0 and vb > 0):
         return True
   return False

def countCut(N,a,b,c,d):
   return sum(1 if cut(x,y,z,a,b,c,d) else 0 for x in range(N) for y in range(N) for z in range(N))

Le résultat que j'ai annoncé est une borne supérieure obtenue en projetant sur deux faces perpendiculaires du cube , je n'ai pas cherché à savoir si elle était réalisable . Ici on a six faces et ça limite pas mal les choses .

Imod

Bonsoir. Avant de commenter et discuter pouvez-vous répondre à la même question avec n=11 (1331 cubes unité) ? Car il faut distinguer les cas pairs des cas impairs.

Bonjour. J'aurais du commencer par n=11 car les cas n impairs semblent d'une résolution "facile".

Hello,

Pour n=11, l'hexagone coupe 271 cubes (aucun cube qui "touche" juste le plan).
En modifiant légèrement la position du plan, j'obtiens 279 cubes coupés pour le plan 1.06x+0.97y+0.97z = 33/2.

Je n'ai pas trouvé de meilleure solution.

Bonsoir. Pour n impair je pensais que le maximum était pour l'hexagone régulier qui donne 271 cubes puisque, comme le dit LittleFox, aucun autre cube touche le plan de coupe. J'en avais tiré la formule suivante : Nb = 0,75(3n²+1)-2
Voir les croquis ci-dessous pour n=3, n=5 et n=11 où l'on peut compter le nombre de cubes unité coupés. Ces croquis ne sont pas de moi. Si LittleFox ou quelqu'un d'autre sait comment dessiner la solution à 279 cubes je suis preneur car je ne sais pas faire.

Pour n pair, on voit que le maximum est égal ou supérieur à n(2n-1) soit 190 pour n=10. En effet, si on fait une coupe verticale passant par la droite dessinée ci-après la démonstration est immédiate.
Cette coupe verticale est "forcément" moins favorable qu'une coupe "en biais". LitteFox arrive à 230. Là aussi, si quelqu'un savait faire un croquis je suis preneur.

Voilà les croquis des solutions pour n=10 et n=11 que j'ai trouvées. Géogébra a eu du mal

Chacun est libre de compter les cellules jaunes pour vérifier Attention que certains triangles sont tout petits.

Mon image c'est perdue

Pas mal pas mal. LittleFox, c'est toi qui a fait ces dessins ? Si oui, comment as-tu procédé ? Avec Geogebra3D ?

Je viens de compter rapidement pour n=10. Je trouve 210 ou 223 si ce que l'on voit comme un point est peut-être un petit triangle. Comment as-tu trouver 230 ?

Pour n=11 j'en compte 270 en faisant pourtant attention de compter les "petits" triangles soit moins que l'hexagone régulier !

Bravo à vous deux pour les dessins en 3D ,on doit imaginer les cubes unités .
En partant d'une coupe hexagonale,quels sont leur types de section ?

@dpi
Ce sont des triangles, des parallélogrammes, des pentagones et des hexagones.

@derny
Oui, c'est à l'aide de la perspective 3D de Géogébra classique et de beaucoup de patience (chaque trait noir est l'intersection d'un des 4 plans du cube tronqué et l'un des 3x12 plans perpendiculaires aux axes).

J'ai vérifié pour n=11 et j'obtiens bien 279 répartis comme suis pour chaque rangée en z:
19,22,25,28,31,28,25,22,19. Il y a 4 cubes gagnés par rapport à l'hexagone sur le bord en haut à droite et 4 autres sur le bord en bas à gauche. J'ai du zoomer dans Géogébra pour confirmer ceci dit.

Pour n=10 les 230 cubes sont répartis de haut en bas par rangée comme ceci : 18,18,21,24,27,28,27,24,21,22.

Bonjour. Bravo LittleFox pour ton travail. J'utilise souvent Geogebra pour mes croquis mais je n'ai jamais utilisé Geogebra3D. On serait sûrement plusieurs à vouloir apprendre à s'en servir.

Pour l'équation du plan de coupe tu as procédé par tâtonnements pour les différents coefficients ? puis tu as "simplement" compté chaque découpe ? "un des 4 plans" de quels 4 plans s'agit-il ?

Je ne vois pas de parallélogrammes mais je vois des quadrilatères.

En fait ce problème est plus complexe que je ne l'avais imaginé. Je pensais que pour n impair l'hexagone régulier était la solution. Par contre, pour n pair je savais que je n'avais pas la meilleure solution.

Pour le décompte de n=11 tu as oublié de mentionner 2 rangées mais j'ai vu à présent où se situent les "petits" triangles que je n'avais pas vu.

@derny
Géogébra 3D reste très intuitif, c'est presque la première fois que je l'utilisais. Il y a sûrement moyen de dessiner la série d'intersections plus facilement.

Les 4 plans sont les 3 faces du cube tournées vers l'observateur et le plan de coupe.

J'ai programmé le comptage des cubes coupés (c'est le code dans mon message du  26-11-18 à 18:06) puis j'ai laissé mon python tâtonner. J'ai suivi un déplacement aléatoire dans l'espace des 4 coefficients du plan en ne gardant que les mouvements qui augmentait le nombre de coupes. Cet algo ne promet pas de trouver la meilleure solution, juste de s'approcher d'un maxima local. En essayant plusieurs fois, j'améliore ma confiance dans le résultat.

Je parlais d'une section d'un cube par un plan en général. Pour les parallélogrammes, j'ai peut-être parlé un peu vite en considérant que les bords sont parallèles. La section est un polygone de 3 à 6 côtés orientés selon 3 directions

Avec les deux rangées manquantes pour n=11: 19,22,25,28,30,31,30,28,25,22,19

Merci pour ces explications. On aura encore sûrement besoin de toi pour d'autres problèmes ...

Avec plaisir

LittleFox, pourrais-tu me donner l'équation de la droite de ton plan de coupe avec la base et avec la base supérieure ?
J'ai une méthode de calcul à partir de ces 2 équations (ce qui fait bien 3 variables quand même si on veut examiner une fourchette de cas).