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Niveau première
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Coupe animaths 2016 éliminatoires

Posté par
ranaviridis
20-05-16 à 23:32

Aussi :
Exercice 7 :
Déterminer le nombre d'entiers n1 vérifiant les 2 conditions suivantes :
(1) Le produit de tous les entiers naturels qui divisent n est égal à n[sup][/sup]
(2) n n'est divisible par aucun nombre premier 10

*** message déplacé ***

Posté par
ranaviridis
Coupe animaths 2016 éliminatoires 20-05-16 à 23:33

(Je voulais mettre "égal à n au carré")

*** message déplacé ***

Posté par
gardger
Coupe animaths 2016 éliminatoires 20-05-16 à 23:41

Je suis désolé mais je suis en terminal je ne m'attendais pas à un niveau aussi élevé je vais essayer d'y réfléchir mais je ne te garantie rien désolé :/

*** message déplacé ***

Posté par
Nofutur2
re : Coupe animaths 2016 éliminatoires 21-05-16 à 11:54

J'ai mis le nombre n sou la forme
n=2n1*3n2*5n3*7n4
Avec n1,n2,n3 et n40

Si je ne m'intéresse qu' à la puissance de 2, on traduit le fait que le produit des diviseurs est égal au carré par :
(0+1+2..+n1)*(n2+1)*(n3+1)*(n4+1)=2*n1
(n1*(n1+1)/2)*(n2+1)*(n3+1)*(n4+1)=2*n1
n1*(n1+1)*(n2+1)*(n3+1)*(n4+1)=4*n1
idem pour les autres puissances , soit
n2*(n1+1)*(n2+1)*(n3+1)*(n4+1)=4*n2
n3*(n1+1)*(n2+1)*(n3+1)*(n4+1)=4*n3
n4*(n1+1)*(n2+1)*(n3+1)*(n4+1)=4*n4

A ce système de 4 équations à 4 inconnues , il y a la solution évidente n1=n2=n3=n4=0
soit n=1
il y a les solutions où 3 ni parmi les 4 sont nuls (par exemple n2=n3=n4=0), et la première équation donne n1+1=4 soit n1=3
Donc 4 solutions n=23, n=33, n=53, et n=73
Il y a enfin les solutions où il y a les solutions où 2 niparmi les 4 sont nuls (par exemple n3=n4=0), les deux premières équations donnent (n1+1)*(n2+1)=4
soit n1=n2=1.. donc 6 solutions  n= 2*3, n=2*5,n=2*7, n=3*5, n=3*7, n=5*7.
Donc si je n'ai rien oublié je compte 1+4+6=11 solutions.
Sauf erreur bien sûr !!

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