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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Couple de variables aléatoires

Posté par
ardea
18-05-22 à 23:30

Bonsoir,

Je ne vois pas du tout comment procéder pour cet exercice :

Soit (i,j) dans ℕ^{2}

Posté par
ardea
re : Couple de variables aléatoires 18-05-22 à 23:37

Désolé, fausse manipulation. Je poursuis :

On pose : p_{i,j} = \frac{(i+j)\alpha^{i+j}  }{ei!j!}

Déterminer \alpha pour que les p_{i,j} soient la densité d'un couple de variables aléatoires.

On suppose que (X,Y) suit la loi ainsi définie P(X=i,Y=j) = p_{i,j}.  Donner les lois de X et de Y.

Merci par avance !

Posté par
carpediem
re : Couple de variables aléatoires 19-05-22 à 08:17

salut

la somme des probabilités des événements élémentaires est la probabilité de l'univers ...

Posté par
verdurin
re : Couple de variables aléatoires 19-05-22 à 17:57

Bonsoir,
pour compléter la réponse de carpediem.

La famille des p_{i,j} doit être sommable et de somme 1, de plus tous les p_{i,j} doivent être entre 0 et 1.

Tu peux commencer par calculer \mathsf{e}\,p_{i,\bullet}=\frac{\alpha^i}{i!}\sum_{j=0}^\infty\frac{(i+j)\alpha^j}{j!}

Posté par
ardea
re : Couple de variables aléatoires 20-05-22 à 16:42

Bonjour,

Merci carpediem et verdurin.

D'accord, je vois, il faut faire la somme. Pas de problème pour cette dernière, on fait une double somme suivant j puis suivant i.

En fait, le terme densité m'a perturbé, je pensais que c'était réservé au cas continu et je m'attendais à avoir une fonction...

Posté par
verdurin
re : Couple de variables aléatoires 20-05-22 à 17:29

Bonsoir ardea.
Je suis assez d'accord pour dire que le terme « densité » n'aide pas à comprendre la question.
Et après avoir calculé la somme j'ai été surpris que l'on puisse déterminer .

Posté par
carpediem
re : Couple de variables aléatoires 20-05-22 à 17:32

et donc qu'obtient-on au final et que vaut a ?

Posté par
ardea
re : Couple de variables aléatoires 20-05-22 à 18:21

Pour la somme, sauf erreur de ma part, je trouve ça (sans détailler les calculs) :

2 \alpha e^{2\alpha-1} = 1

On peut prendre \alpha = \frac{1}{2}

Posté par
verdurin
re : Couple de variables aléatoires 20-05-22 à 18:35

Je suis d'accord avec ta réponse, sauf que l'on doit prendre \alpha = \frac{1}{2}

Posté par
ardea
re : Couple de variables aléatoires 20-05-22 à 19:41

Je ne connaissais pas les lois conjointes, je viens de voir la définition. Je corrige :

Par définition, on a 0 \leq p_{i,j} < 1 donc 0\leq \alpha or sur R_{+}, la fonction f : x \rightarrow 2xe^{2x-1} est strictement croissante donc f(x) = 1 admet une unique solution \alpha sur cet intervalle. On remarque que f(\frac{1}_{2}) = 1 donc \alpha = \frac{1}_{2} .



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