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Courbe en polaire
Bonsoir, je m'interesse à un exercice sur les courbes polaires, et je suis confronté à quelques difficultés. Je ne mettrai ici que les questions me posant problèmes.
Le plan euclidien est rapportté à un ROND (O,i,j). Pour tout 
à R on définie un autre repere (O,u(),v() ) qu'on apellera R() par u()= cos i+sinj et v()=-sini+cosj. Soit a un réel strictement positif. Pour tout 
appartenant à ]-pi/2,pi/2[ on définit p()= a/(cos2-tansin2) et OM()=p()u() et on appelle la courbe C la courbe décrite par M()alpha quand Théta parcourt R.
1.Montrer qu'on passe de Co(c-a-d =0) à C par la composée d'une rotation d'angle -/2 et de l'homotéthie de centre O et de rapport cos.
Je n'ai pas réussi
2. Par quelle transformation simple passe t'on de M() à M(+Pi/2).
Je pense qu'il s'agit d'une rotation d'angle -pi/2 car p(Théta+pi/2)=-p(théta)
3.Soit o un réel fixé. Montrer qu'il existe au plus un reel o appartenant à ]-pi/2,pi/2[ pour lequel M(o) n'est pas défini.
Je trouve = Arctan(cos2/sin2). Mais comment montrer que il y'en au plus 1?
4.La tangente à C en M(théta o) a pour équation dans le repere R(o) la droite D d'équation
x.a.(cos2o-tansin2o)-2ya(sin2o+tan.cos2o) =a²
Montrer que la droite D passent par un point P(o) indépendant de Alpha dont on donnera les coordoneés dans R(o)
Je n'ai pas réussi non plus.
Pourriez vous me donner quelques indications s'il vous plait afin que je puisse résoudre mon exercice. Merci beaucoup! 
p(t)=a/(cos2t-tanA*sin2t)=acosA/(cos2tcosA-sin2tsinA)=acosA/cos(2t+A)=acosA/cos2(t+A/2)
et p(0)=a/cos2t donc...
p(t+pi/2)=acosA/cos(2t+A+pi)=-acosA/cos(2t+A)=-p(t) : c'est plutôt une symétrie par rapport à l'origine, non? (ou une rotation d'angle pi)
p , donc M, n'est pas défini pour cos(2t0+A)=0 soit 2t0+A=pi/2+kpi, A=pi/2-2t0+kpi et il n'y a qu'une valeur de k pour laquelle cet angle est dans l'intervalle ]-pi/2,pi/2[
L'équation de la droite peut encore s'écrire:
a(xcos2t-2ysin2t)-atanA(xsin2t+2ycos2t)=a²
Elle sera indépendante de A si xsin2t+2ycos2t=0 . On aura alors a(xcos2t-2ysin2t)=a²
La résolution du système donne x=acos2t y=-asin2t/2
Bonjour Piepalm et merci pour ta réponse. En ce qui concerne p(t+pi/2) c'est bien égale à -p(t) mais il ne faut pas oublier u(t+pi/2)... essaie de faire un schéma et dis moi ce que tu trouves, je me suis peut être trompé. Merci encore
désolé, je devais penser à autre chose!
p(t+pi/2)=acosA/cos(2t+A+pi)=-acosA/cos(2t+A)=-p(t) c'est bien une rotation d'angle -pi/2!
Il n'y a rien de grave lol. J'ai encore quelques questions qui me perturbe à cause de tous ces changements de reperes. Les coordonnées de P(to) x=acos2t et y=-asin2t/2 ce sont les coordonnées dans le repere O,i,j ou bien dans R(to)?
Ensuite j'ai une question qui me bloque: Lorsque t décrit R,le point P(t) défini ci dessus décrit une courbe T. Montrer que la tangente en P(t) ) T est dirigé par u(t) pour tout t donc qu'elle est parallele à OMA(t).
J'avais pensé a faire x'(t) et y'(t) mais le vecteur directeur de cette tangente n'est pas parallele à u(t).
-Pour quelle valeurs de t, P(t) est il un point stationnaire de T.
Quand x'=0 et y'=0 mais je trouve alors qu'il ny'a aucun point stationnaire
Donner une représentation paramétrique de T dans (O,i,j).
En fait c'est a cause des reperes que je ne réussis pas à traiter ces questions. Est ce que tu pourrais m'aider encore s'il te plait?? Merci beaucoup
Je m'etais absenté et n'avais pas vu tes messages
L'équation de la droite est dans le repère R(t0) donc les coordonnées sont dans ce même repère. Dans le repère O,i,j ces coordonnées sont x= a(cos2tcost+sin2tsint/2) et y=a(cos2tsint-sin2tcost/2)
x'=a(-2sin2tcost-cos2tsint+cos2tsint+sin2t cost/2=(-3asin2t/2)cost
y'=a(-2sin2tsint+cos2tcost-cos2tcost+sin2tsint/2=(-3asin2t/2)sint
Le vecteur directeur de la tangente en P est bien parallèle à u(t)
P sera stationnaire si x'=y'=0 donc pour sin2t=0 soit t=kpi/2
Merci indéfiniment pour ton aide piepalm, je vais pouvoir à présent étudier la courbe que P décrit. Merci encore!
Salut Laurelie
Quelques courbes r(théta) pour alpha=pi/n n=1à10
tu pourras vérifier...
Sympa ton pb
Philoux
Salut Philoux. En fait ce n'est pas cette courbe que l'on cherche à étudier, mais celle que décrit le point P quand théta décrit R. C'est à dire qu'on veut étudier la courbe paramétrée
x= a(cos2tcost+sin2tsint/2) et y=a(cos2tsint-sin2tcost/2)
Ca se fait rapidement en réduisant l'intervalle d'étude vu qu'on à déja les dérivées x' et y'. Pour a=1 ca fait une jolie étoile .
Sinon je cherche à étudier le signe de 1/(cos2x)-1/(V2(cosx-sinx)). J'ai réussi à me ramener à 1/(cos2x) - 0.5/(cos(x+Pi/4)). Si quelqun à une idée je suis prenante.
(En fait il s'agit d'étudier la position de la courbe 1/cos2t par rapport a ses assymptotes. Sur O,Pi/2 cette droite à pour équation polaire 1/(V2(cost-sint)).
Merci bonne journée
cos2x=cos²-sin²=(cos-sin)(cos+sin)
ca peut aider ?
Philoux
par ailleurs,
...P(to) x=acos2t et y=-asin2t/2 ...
(x/a)²+(y/(a/2))²=1 est une ellipse de centre O de gd axe a et petit axe a/2
Philoux
C'est une ellipse dans le repère R(to) effectivement, mais dans le repere O,i,j, c'est différent. Merci
Ca doit avoir un faux air d'épicycloïde...
Pour la position par rapport à l'asymptote, il suffit de voir que 1/cos2t tend vers +inf qd t tend vers pi/4- et -inf qd t tend vers pi/4+ Non?
Il faut dire si l'assymptote est au dessus ou au dessous de la courbe. Donc dans R(to) la droite a pour équation Y=-1/2 donc j'ai cherché les coordonnées dans R puis j'ai donné une équation polaire de la droite et je cherche à étudier le signe de la différence. Ce qui me donne sur [0 pi/4[ la courbe est au dessus et sur ]pi/4,pi/2] au dessous.C'est bon comme raisonnement?
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