Bonjour, robby3.

Une indication, rapidement, parce que je vais me déconnecter.

Tu utilises un théorème des fonctions implicites.

C est l'intersection de deux surfaces contenant l'origine.

Tu écris l'équation des plans tangents à ces surfaces en 0, tu montres que ces deux plans tangents sont distincts; et, en appliquant un théorème de ton cours, tu obtiens que C est une courbe passant par O, la tangente à C en O étant l'intersection des plans tangents en O.

Rappel: Si S est une surface d'équation f(x,y,z)=0 et si est un point régulier de S, le plan tangent à S en M est d'équation:

Bonsoir perroquet

juste un petit up

Salut,
Par courbe tu entends variété de dim 1?

justement j'en sais rien!
Supposons que oui(à moins que tu ne voyes autre chose )

Pour montrer que c'est une variété de dim1 toujours le même principe image réciproque d'une submersion en 0.

Pour l'espace tangent...vu que ta variété est plongée il existe un forme simple de l'espace tangent.

la submersion...
f(x,y,z)=(4xy+2xz+4y-z,xy+xz+2x+2y-z)??

OUi pour la submsersion
Si tu n'as vu que des sous variétés alors elles sont toutes plongées tu dois donc connaitre une caractérisation simple de l'espace tangent à partir d'une submersion.

En fait on a dit que l'espace tangent eétait un sous espace vectoriel de T(R^n) de dimension égale à celle de la sous-variété.
En fait si tu veux,pour nous,un vecteur tangent en a c'est un vecteur tangent à une courbe qui passe par a et contenu dans S

Pour une variété de dim 1, c'est particulièrement simple de trouver son espace tangent même avec ta définition.
Comme l'espace tangent est de dim 1, il te suffit de trouver un chemin sur la variété, donc le vecteur vitesse soit non nul et l'espace tangent est engendré par ce vecteur.

des dérives partielles de quoi?

de ma submersion...

Le vecteur vitesse d'un chemin en un point a c'est tout simplement

donc le vecteur vitesse de C au point 0 c'est tout simplement f'(0,0,0)?

C'est quoi f?

Si f c'est la submersion alors c'est évidemment faux...on cherche d'abord un chemin sur la variété.

Non mais on ne parle de vecteur vitesse que pour un chemin c'est à dire une application de R dans la variété.

Ici comme ta variété est une courbe il n'est pas difficile de trouver une chemin sur ta variété.

La submersion qu'on a utilisé pour définir la variété n'a (presque ) rien à voir la dedans.

Donc commence par trouver un chemin sur ta variété calcule sont vecteur vitesse en O...s'il est non nul tu as fini.

Tiens


Je te conseille de jeter un oeil au chapitre 6 de ce poly.

un chemin c'est une application de R dans une sous-variété?

ici ce serait de R^3 dans C ??
je comprend comment tu trouves un chemin comme ça...?
qu'on soit sur une courbe ou autre chose...

Non de R dans C pas de R^3 dans C...ça correspond à l'idée intuitive de tracer un chemin avec un crayon sur ta variété. On ne parle de vecteur vitesse que pour de tel chemin.

L'espace tangent en a TaM est constitué de tous les vecteurs vitesses donc des dérivées, de tous les chemins C1 tel que c'est bien cette définition de l'espace tangent que tu as?

je vais te dire exactement la définition que j'ai:

Soit S un sous-ensemble de R^n lisse en a appartenant à S.
Un vecteur v appartenant à Ta(R^n) est dit tangent en a à S si c'est un vecteur tangent en a à une courbe passant  par a et contenue dans S.
ça c'est ma définition.
Ta(R^n) c'est l'esapce des vecteurs tangents en a dans R^n.

Bon ce que j'appelle chemin c'est ce que tu appelle courbe dnas ta definition (au passage c'est aps tres cohérent d'appeler courbe variété de dim 1 et application de R dans une variété même si au final c'est la même chose...)
Bon je t'aide ici un chemin gamma s'ecrit (x(t),y(t),z(t)) ou x,y et z sont des fonctions lisses ils vérifient en plus f(x(t),y(t),z(t))=0 puique que gamma(t) est dan variété pour tout t.

Je te rappelle qu'on cherche (x'(t),y'(t),z'(t))
Comme f est lisse on peut par exemple différencier la relation f(x(t),y(t),z(t))=0
Qu'est ce qu'on obtient?

c'est le différentielle d'une composée?

[pourquoi la méthode de perroquet et sa formule,cf 21:04,ne fonctionnent-ils pas?]

Si ca fonctionne (plus ou moins en fait c'est dans un contexte plus surface classique de prepa que variété...)...mais en fait ca suppose un théorème que tu n'as apparement pas vu (et qu'on est en train de redemontrer) à savoir que l'espace tangent est le noyau de la différentielle de la submersion définissant localement ta sous variété.

Oui donc pour en revenir à l'exo calcule la dérivée de f(x(t),y(t),z(t))=0 et tu troouveras x'(0),y'(0) et z'(0)

la dérivée de f(x(t),y(t),z(t))
est ce que c'est la somme des dérivées partielles de f en (x(t),y(t),z(t)) ??

ou bien c'est la dérivée des fonctions composées??

t->(x(t),y(t),z(t))->f((x(t),y(t),z(t)) ??

si j'appelle g la 1er fonction:
Dg(t)=somme des dérivées partielles= dg(t)/dx+dg(t)/dy+dg(t)/dz
(ce sont des dérivées partielles)

??:?

Ben c'est une dérivée de fonction composée... c'est

(t)=(x(t),y(t),z(t)) ?

donc '(t)=d(t)/dx+d(t)/dy+d(t)/dz

ou les d sont des dérivées partielles?

Mais il n'y a pas de dérivées partielles ici...gamma est ue fonction de t uniquement... et pourquoi des plus entre les d gamma/dt
Non

on veut différencier f((x(t),y(t),z(t))=0 <=>
df((x(t),y(t),z(t)).(x'(t),y'(t),z'(t))=0

dans le but de trouver (x'(t),y'(t),z'(t))...???

Oui maintenant evalue cette identité en t=0... et tu obtiens le thoerème general dont j'ai parlé plus haut... mais tu peux aplliquer ca avec le f de ton exo et tu auras un generateur de T0M.

Tu as regardé le poly que je t'ai mis en lien? il est pas mal fait...(c'était un cours sur les sytèmes dynamique mais le chapitres 6 est sur les sous variétés.)

oui oui j'ai regardé,j'ai repéré les exemples assez interressant,la définition 6.2 aussi est pas mal...par contre c'est assez en décalage avec mon cours...

Mais je prefere la définition de ce polycopié pour sous-variétés,elle est limpide je trouve

j'évalue en t=0??
soit!!

df((x(0),y(0),z(0)).(x'(0),y'(0),z'(0))=0

et on sait quoi sur df((x(0),y(0),z(0))??

Be tes chemins verifient gamma(0)=m pour l'espace tangent en m...ici m=0 donc df(x(0),y(0),z(0))=df(0)

Il te reste a calculer df(0) par le calcul precedent gamma'(0) est dans T0M ssi df(O).gamma'(0)=0

Il te suffit donc d'évaluer le noyau de df(0) c'est ton espace tangent.

je suis completement pommé!

f c'est la submersion...
Et oui nos chemins passent nécessairement par le point m...c'est une convention de prendre t=0 pour gamma(t)=m

f(x,y,z)=(4xy+2xz+4y-z,xy+xz+2x+2y-z)
on trouve
df(0)=6 ??!!:o

Df(0,0,0)=df(0,0,0)/dx+df(0,0,0)/dy+df(0,0,0)/dz
??

a t-on?

df(x,y,z)/dx=5y+2x+z+2
df(x,y,z)/dy=5x+6
df(x,y,z)/dz=x-2
??

df c'est la différentielle, la jacobienne si tu préfères...df(0) est une matrice...

df(0)=
0  2
4  2
-1 -1

?
on fait le produit avec (x'(t),y'(t),z'(t)) et on a l'espace tangent en 0 à C,c'est bien ça?

plutot la transposée non?

Non je reprends f:R^3->R² et a x,y,z associe (4xy+2xz-4y-z,xy+xz+2x+2y-z)

On cherche le noyau de df(0)...est ce que tu sais faire ça?

ahhh le noyau!!!
je refais

pfff

on résoud bien

(4y+2z 4x-4 2x-1) .u  =0
(y+z+2 x+2 x-1)    v   0
                   w   0


??

C'est plus simple que ça on prend la différentielle en 0!

on trouve Vect(-3,1,-4) ?

Je sais pas j'ai pas fait les calculs...mais bon l'important est que tu aies compris la methode...

exact!
mais va quand meme falloir que je revoie tout ça au calme,parce que j'ai bataillé pour pas grand chose.