Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Courbe, tangente et dérivée seconde
Bonsoir à tous,
J'ai un exercice-dm à faire pour lundi prochain. Cela fait déjà bien une semaine que je travaille dessus mais je doute encore de la méthode à appliquer pour certaines questions.
Voici l'énoncé :
Soit f une fonction derivable sur R, dont la dérivée f' est elle aussi derivable sur R, de dérivée f". Soit a, un réel fixé. On note C la courbe représentant f, A le point de C d'abscisse a et T la tangente en A à C.
Cet exercice comporte 3 grandes parties.
C'est à la deuxième partie que je bloque un peu :
B. 1. a) écrire une équation de la tangente A C en A
Ma reponse: y=f'(a)*(x-a)+f(a)
b. Soit g(x)= f(x)-f'(a)*(x-a)-f(a) pour tout x réel. Que peut-on dire de T et de C si g(x)>=0 sur R?
Ma réponse : j'explique que c'est en fait f(x)-T, donc si g(x)>=0 alors C est toujours au dessus de T
2. On suppose que f">=0 sur R
a) Déterminer le sens de variation de la fonction f'
Ma réponse: f" dérivée de f', donc si f">=0, f' est strictement croissante.
b) calculer g'(x) et en déduire son signe selon que x <=a et x>=a
Ma réponse : g'(x)=f'(x)-f'(a)
Or on sait que si f">=0, f' est croissante. f"(x) est croissante puisque x est une variable, et f"(a)=0 puisque à est une constante. Donc g"(x) = f"(x). g">=0 donc g' est croissante.
Si x=a on aura g'(x)=0 (nulle) .
Par conséquent, quand x<a , g'est négatif, et quand x>a , g' est positif.
Est-ce correct?
c) en déduire le sens de variation de g sur R puis le signe de g. Qu'en deduit-on pour C et T
Ma réponse : g est décroissante quand x<a, puis est croissante quand x>a. Elle a un minimum en g(a).
Mais je n'arrive pas a comprendre comment trouver la valeur de g(a). Si g(a)=0 alors la suite est ok. Mais je ne vois pas comment demontrer.
d) énoncer la propriété ainsi démontrée
Je ne comprends pas ce que je dois répondre ici
Pouvez vous m'éclairer s'il vous plaît et me dire si ce que j'ai fait est correct?
Merci d'avance,
Natsume
bonsoir : )
1.a) ok
1.b)
Ma réponse : j'explique que c'est en fait f(x)-T, donc si g(x)>=0 alors C est toujours au dessus de T
T est le NOM de la tangente, on écrit : "T : y = f'(a)(x - a) + f(a)", tu vois que T n'est pas égal à y (y qui est un réel, T n'est pas un nombre) ;
sinon c'est bien ça l'idée, g(x) >= 0
f(x) >= f'(a)(x - a) + f(a) C est au dessus de T
2.a) pas strictement croissante, mais croissante tout court ;
on a stricte croissante QUAND la dérivée est strictement positive ;
ici la dérivée de f' est positive ou nulle
2.b)
Or on sait que si f">=0, f' est croissante. f"(x) est croissante puisque x est une variable, et f"(a)=0 puisque à est une constante. Donc g"(x) = f"(x). g">=0 donc g' est croissante.
Si x=a on aura g'(x)=0 (nulle) .
Par conséquent, quand x<a , g'est négatif, et quand x>a , g' est positif.
Est-ce correct?
g'(x) = f'(x) - f'(a)
d'après la question précédente on sait que f' est croissante. (pas f'(x) ou f"(x) qui ne sont PAS des fonctions ; f' ou f" sont des fonctions..., faire la différence entre f' et f'(x)...)
si x >= a, comme f' est croissante sur
, on a f'(x) >= f'(a) puis f'(x) - f'(a) = g'(x) >= 0 (et alors g est croissante sur [a , +infini[
de même, si x <= a alors g'(x) <= 0 (et alors g est décroissante sur ]-infini , a])
g admet un minimum en a, et g(a) = f'(a)(a - a) = 0
g(x) = f(x) - f'(a)(x - a) - f(a)
donc g(a) = f(a) - f'(a)(a - a) - f(a) = 0
donc le minimum de g est 0, donc pour tout réel x, g(x) >= 0 "maintenant on revient à ce que vaut g(x), et on repense à la question 1.b)"
Re bonsoir,
Merci beaucoup pour votre réponse mdr_non ! En effet, votre méthode est beaucoup plus claire 
Et je pense avoir compris quou répondre à là question B.2 c) énoncer la propriété ainsi démontrée
Mà réponse : si f">=0 sur R alors g:x
f(x)-f'(a)*(x-a)-f(a) est positive sur et Cf est toujours au dessus de ses tangentes.
Est-ce cela?
2°) en dernière partie d'exercice je dois appliquer ce que j'ai démontré pour déterminer la position de C par rapport à t dans deux cas:
f(x)=2x^4+x^2-3 sur R
et
f(x)=
2x^2+3 sur R
Avec la propriété que j'ai énoncé (si elle est bonne), il me suffirait de calculer f"(x) dans les 2 cas puis d'observer quand f" est positive et/où negative. Et ainsi de conclure avec la dite propriété.
J'ai déjà calculer et trouvé que pour la première équation, f">=0 x>-1/12
Ainsi g est positive à partir de cette valeur et la courbe est au dessus de T quand x>-1/12
J'ai procédé de la même manière pour la 2° équation, mais dans les 2 cas, ça me paraît bizarre.
Est-ce correct?
Merci d'avance
oui c'est très bien : )
Ici on a travaillé sur l'ensemble des réels tout entier ,
et le résultat est encore valable si on se restreint à un intervalle quelconque (non vide et non réduit à un point) de .
Soit f une fonction deux fois dérivables sur un intervalle I.
Si la dérivée seconde de f est positive sur I alors la courbe représentative de f est au-dessus de chacune de ses tangentes.
(Pour culture on parle dans ce cas de fonction convexe ; et il s'agit en réalité d'une équivalence c'est à dire :
dérivée seconde positive la courbe de la fonction est au-dessus de chacune de ses tangentes.)
Et par exemple, si tu regardes la courbe représentative de la fonction exponentielle, tu peux bien voir qu'elle est au dessus de chacune de ses tangentes.
Il s'agit en effet d'une fonction qui vérifie la propriété qu'on a démontrée, c'est une fonction convexe.
D'ailleurs un résultat intéressant pour la fonction exponentielle, puisqu'elle est convexe, elle est au-dessus de sa tangente en 0 et on déduit que :
Et de même pour la fonction carrée, c'est une fonction convexe (sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes).
Il est intéressant de noter que si on avait non plus f"(x) >= 0 mais f"(x) <= 0 alors la courbe de la fonction dans ce cas, est en-dessous de chacune de ses tangentes.
(On parle dans ce cas de fonction concave, comme la fonction logarithme népérien ou la fonction sinus sur l'intervalle [0, pi/2])...)
2°) en dernière partie d'exercice je dois appliquer ce que j'ai démontré pour déterminer la position de C par rapport à t dans deux cas:
f(x)=2x^4+x^2-3 sur R
et
f(x)=
2x^2+3 sur R
Avec la propriété que j'ai énoncé (si elle est bonne), il me suffirait de calculer f"(x) dans les 2 cas puis d'observer quand f" est positive et/où negative. Et ainsi de conclure avec la dite propriété.
J'ai déjà calculer et trouvé que pour la première équation, f">=0
x>-1/12
Ainsi g est positive à partir de cette valeur et la courbe est au dessus de T quand x>-1/12
J'ai procédé de la même manière pour la 2° équation, mais dans les 2 cas, ça me paraît bizarre.
Est-ce correct?
Aussi, il te faut justifier que les fonctions sont deux fois dérivables...
f(x) = 2x^4 + x^2 - 3, définie et dérivable deux fois sur
f'(x) = 8x^3 + 2x
f"(x) = 24x² + 2 >= 0, donc
je te laisse faire pareil pour la deuxième ?
Annuler
connectez vous